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空間図形 — 体積と表面積

立体の公式は、丸暗記だけで進むとすぐ混ざります。 見る場所を分けると整理しやすくなります。 体積は「底面積が高さ方向にどれだけ積み上がるか」、表面積は「外から見える面の面積を全部足すこと」です。

角柱や円柱は、同じ底面がまっすぐ積み上がるので、体積は底面積 $\times$ 高さです。 角錐や円錐は、同じ底面・同じ高さの柱の $\frac{1}{3}$ になります。 球は半径だけで大きさが決まり、体積は $\frac{4}{3}\pi r^3$、表面積は $4\pi r^2$ です。

触ってみる — 寸法と数値が連動する

立体の種類を切り替え、半径・高さ・底面の一辺を動かしてください。 体積 $V$ と表面積 $S$ が同時に変わります。 同じ高さを大きくしても、柱では体積がそのまま増え、球では高さではなく半径だけが効く、という違いも見えます。

角柱円柱角錐円錐球

半径2高さ4

$r = 2$, $h = 4$

$V = \pi r^2h$, $S = 2\pi r^2 + 2\pi rh$

体積 $16\pi$、表面積 $24\pi$

近似: $V = 50.27$, $S = 75.4$

公式は、どの面を数えているかで読むと覚えやすくなります。 円柱の表面積 $2\pi r^2+2\pi rh$ は、上下の円が $2$枚、側面を広げた長方形が「円周 $2\pi r$ × 高さ $h$」という意味です。 角錐や円錐では、側面の三角形や扇形を足すために、斜めの長さも必要になります。

理解チェック

式で確かめる

動かして掴んだ感覚を、式と言葉で確かめます。間違えても、ヒントと解説で戻れます。

確認 1 / 3

半径 $2$、高さ $5$ の円柱の体積を $k\pi$ と表すと、$k$ はいくつですか?

答え確認

ヒントを見る答えと解説を見る

確認 2 / 3

底面が一辺 $6$ の正方形、高さ $4$ の角錐の体積はいくつですか?

答え確認

ヒントを見る答えと解説を見る

確認 3 / 3

半径 $3$ の球について、体積と表面積の組み合わせとして正しいものは?

体積 $12\pi$、表面積 $36\pi$体積 $27\pi$、表面積 $18\pi$体積 $36\pi$、表面積 $36\pi$体積 $36\pi$、表面積 $12\pi$

ヒントを見る答えと解説を見る

章末チャレンジ

円柱の半径と高さを動かして、体積と表面積の両方を目標値に合わせてください。 体積だけ合っていても、表面積が違うならまだ別の円柱です。

半径1.5高さ2

いまの体積 $4.5\pi$いまの表面積 $10.5\pi$

執筆・監修: 中野竜之介（北海道大学大学院 数学専攻 博士課程・専門: 特殊関数論と代数幾何の交わり）

最終更新: 2026-07-05

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