比例・反比例 — グラフで対応を見る

「比例」と聞くと、表に数を入れて機械的に計算する単元だと思うかもしれません。けれど、本当に見たいのは表そのものではなく、$x$ が変わったとき $y$ がどう動くかです。比例 $y=ax$ と反比例 $y=\frac{a}{x}$ を、式・表・グラフの同じ出来事として見ます。

比例 — 同じ倍率で増える対応

比例 $y=ax$ では、$x$ を $2$ 倍にすると $y$ も $2$ 倍、$x$ を $-1$ 倍にすると $y$ も $-1$ 倍になります。そのためグラフは必ず原点を通る直線になります。比例定数 $a$ は、その直線の傾き方を決める数です。

$y = 2.00x$$x = 2$ なら $y = 4.00$

比例定数2.00

点が一直線に並ぶことと、原点を通ることに注目してください。$a$ が正なら右上がり、$a$ が負なら右下がりです。ただし、どちらの場合も「原点を通る」という性質は変わりません。

反比例 — 積が一定になる対応

反比例は $y=\frac{a}{x}$ と書きます。比例では商 $\frac{y}{x}$ が一定でしたが、反比例では積 $xy$ が一定です。たとえば $y=\frac{12}{x}$ なら、$x=3$ のとき $y=4$ で、$xy=12$ になります。

$y = \frac{6.00}{x}$$x = 2$ なら $y = 3.00$

比例定数6.00

反比例のグラフは直線ではなく、双曲線になります。$x$ が大きくなるほど $y$ は小さくなり、$x$ が $0$ に近づくほど $y$ の値は大きく動きます。$a$ の絶対値を大きくすると、積 $xy$ を大きく保つ必要があるので、曲線は原点から外へ張り出します。

試してみよう

• 比例の $a$ を $2$ から $-2$ に変える → 原点を通ったまま、右上がりから右下がりに変わります
• 反比例の $a$ を $3$ から $9$ に変える → 同じ $x=2$ でも $y$ が大きくなり、曲線が外へ張り出します
• 反比例で $a$ を負にする → グラフが第2象限(左上)と第4象限(右下)に移ります(座標平面は $x$軸と $y$軸で4つの部分に分かれ、右上から反時計回りに第1〜第4象限と呼びます)

理解チェック

式で確かめる

動かして掴んだ感覚を、式と言葉で確かめます。間違えても、ヒントと解説で戻れます。

確認 1 / 3

比例 $y = 3x$ で $x=-2$ のとき、$y$ はいくつですか?

答え

±√π

確認

ヒントを見る

確認 2 / 3

比例 $y = ax$ のグラフで、比例定数 $a$ が負のときの説明として正しいものは?

原点を通らない直線右へ進むほど上がる直線必ず曲線になる右へ進むほど下がる直線

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確認 3 / 3

反比例 $y = \frac{12}{x}$ で $x=3$ のとき、$y$ はいくつですか?

答え

±√π

確認

ヒントを見る

操作チャレンジ

反比例のグラフを調整して、指定された点を通るようにしてください。目標は図の下の説明に書いてあります。

比例定数4.00