連立方程式 — 消去して解く

文章題で「りんごとみかんを合わせて何個」のような条件が出ると、未知数が $1$ つでは足りないことがあります。そのときは $x$ と $y$ のように、知りたい量を $2$ つ置きます。ただし式が $1$ 本だけでは、まだ候補がたくさん残ります。 $2$ 本の式を同時に満たす値を探すのが、連立方程式です。

この回では、まず計算で解く方法を扱います。大切なのは、式を見て「どの文字を消すと見通しがよいか」を選ぶことです。消すとは、ごまかすことではありません。 $2$ 本の式を足したり引いたりして、片方の文字だけが残る形に直すことです。

触ってみる — 消すと座標が決まる

次の例を見ます。

\begin{cases} x+y=5 \\ x-y=1 \end{cases}

この $2$ 本の式を足すと、 $+y$ と $-y$ が消えて $2x=6$ になります。つまり $x=3$ 。そこまで分かれば、もとの式 $x+y=5$ に戻して $3+y=5$ 、だから $y=2$ です。

図では、同じことを交点の位置として見ています。「 $x$ を先に出す」と「 $y$ を先に出す」を切り替えて、消去で決まる座標が交点の横位置・高さになっていることを確かめてください。

x+y=5

x-y=1

x+y=5

と

x-y=1

を足すと

2x=6

、つまり

x=3

。交点の横位置が決まります。

加減法の手順

加減法では、次の順に考えます。

消したい文字を決める
その文字の係数が同じ、または反対になるように式をそろえる
式を足す、または引く
出た値をもとの式に代入して、もう片方の値を求める

たとえば

\begin{cases} 2x+y=11 \\ x+y=7 \end{cases}

なら、 $y$ の係数がどちらも $1$ です。上の式から下の式を引くと $x=4$ 。もとの式 $x+y=7$ に戻すと $4+y=7$ なので $y=3$ です。

ここで必ず検算します。 $2x+y=11$ に $(x,y)=(4,3)$ を入れると $2\cdot4+3=11$ 。 $x+y=7$ に入れると $4+3=7$ 。両方の式に合っているので、この答えで確定です。

理解チェック

式で確かめる

動かして掴んだ感覚を、式と言葉で確かめます。間違えても、ヒントと解説で戻れます。

確認 1 / 3

$x+y=7$ 、 $x-y=1$ を足すと $2x=8$ になります。 $x$ はいくつですか?

答え

確認 2 / 3

$2x+3y=12$ から $2x-y=4$ を引くと、 $y$ はいくつになりますか?

答え

確認 3 / 3

$3x+2y=11$ と $3x-5y=-3$ で、 $x$ を消す操作として自然なのは?

執筆・監修: 中野竜之介（北海道大学大学院数学専攻博士課程・専門: 特殊関数論と代数幾何の交わり）

最終更新: 2026-07-05

内容の誤り・誤植を見つけたらこちらから報告できます。いただいた指摘は更新履歴に反映します。