連立方程式 — 消去して解く

文章題で「りんごとみかんを合わせて何個」のような条件が出ると、未知数が $1$つでは足りないことがあります。 そのときは $x$ と $y$ のように、知りたい量を $2$つ置きます。 ただし式が $1$本だけでは、まだ候補がたくさん残ります。$2$本の式を同時に満たす値を探すのが、連立方程式です。

まず、加減法で連立方程式を解きます。 式を見て、「どの文字を消すと見通しがよいか」を選びます。 消すとは、ごまかすことではありません。$2$本の式を足したり引いたりして、片方の文字だけが残る形に直すことです。

触ってみる — 消すと座標が決まる

次の例を見ます。

$$\begin{cases} x+y=5 \\ x-y=1 \end{cases}$$

この $2$本の式を足すと、$+y$ と $-y$ が消えて $2x=6$ になります。 つまり $x=3$。そこまで分かれば、もとの式 $x+y=5$ に戻して $3+y=5$、だから $y=2$ です。

図では、同じことを交点の位置として見ています。 「$x$を先に出す」と「$y$を先に出す」を切り替えて、消去で決まる座標が交点の横位置・高さになっていることを確かめてください。

$x+y=5$$x-y=1$

$x$を先に出す$y$を先に出す

加減法の手順

加減法では、次の順に考えます。

1. 消したい文字を決める
2. その文字の係数が同じ、または反対になるように式をそろえる
3. 式を足す、または引く
4. 出た値をもとの式に代入して、もう片方の値を求める

たとえば

$$\begin{cases} 2x+y=11 \\ x+y=7 \end{cases}$$

なら、$y$ の係数がどちらも $1$ です。 上の式から下の式を引くと $x=4$。もとの式 $x+y=7$ に戻すと $4+y=7$ なので $y=3$ です。

ここで必ず検算します。$2x+y=11$ に $(x,y)=(4,3)$ を入れると $2\cdot4+3=11$。 $x+y=7$ に入れると $4+3=7$。両方の式に合っているので、この答えで確定です。

理解チェック

式で確かめる

動かして掴んだ感覚を、式と言葉で確かめます。間違えても、ヒントと解説で戻れます。

確認 1 / 3

$x+y=7$、$x-y=1$ を足すと $2x=8$ になります。$x$ はいくつですか?

答え

±√π

確認

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確認 2 / 3

$2x+3y=12$ から $2x-y=4$ を引くと、$y$ はいくつになりますか?

答え

±√π

確認

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確認 3 / 3

$3x+2y=11$ と $3x-5y=-3$ で、$x$ を消す操作として自然なのは?

$2$本の式を足す上の式から下の式を引く上の式だけを $2$倍する$y$ に $0$ を代入する

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