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連立方程式 — $2$直線の交点として見る

前回は、連立方程式を加減法で解きました。 今回は同じものをグラフで見ます。 一次方程式 $ax+by=c$ は、座標平面では直線になります。 連立方程式の解とは、$2$本の直線の両方に乗っている点、つまり交点です。

この見方を持つと、「解が $1$つ」「解がない」「解が無数にある」という違いが自然に見えます。 計算の前に形を見ることで、答えの個数を見通せるようになります。

触ってみる — 交点が解になる

下の図では、$2$本の直線をスライダーで動かせます。 $y$軸上の点をドラッグすると切片が変わり、傾きスライダーを動かすと直線の向きが変わります。

交点があるとき、その点の $x$ 座標と $y$ 座標が連立方程式の解です。 平行になると共通する点がなく、解はありません。 $2$本がぴったり重なると、直線上のすべての点が両方の式を満たすので、解は無数にあります。

1本目

傾き1切片0

2本目

傾き-0.5切片3

交点あり平行の例一致の例

交点は $(2, 2)$ です。この $x, y$ が $2$つの式を同時に満たす解です。

式とグラフを行き来する

たとえば

$$\begin{cases} y=x+1 \\ y=-x+5 \end{cases}$$

なら、交点では右辺どうしが等しいので $x+1=-x+5$ と置けます。 整理すると $2x=4$、つまり $x=2$。 もとの式に戻すと $y=2+1=3$。交点は $(2,3)$ です。

平行の場合も式で確認できます。 $y=2x+1$ と $y=2x-3$ は傾きがどちらも $2$ で、切片だけが違います。 同じ向きでずっと離れたままなので、交点はありません。

一致の場合は、見た目が同じ直線です。 たとえば $2x-y=4$ と $4x-2y=8$ は、後者が前者の $2$倍です。 表している直線は同じなので、その直線上のすべての点が解になります。

理解チェック

式で確かめる

動かして掴んだ感覚を、式と言葉で確かめます。間違えても、ヒントと解説で戻れます。

確認 1 / 3

$y=x+1$ と $y=-x+5$ の交点はどれですか?

$(2,-3)$$(3,2)$$(2,3)$$(1,2)$

ヒントを見る答えと解説を見る

確認 2 / 3

$y=2x+1$ と $y=2x-3$ の解の個数は?

解なし無数$2$つ$1$つ

ヒントを見る答えと解説を見る

確認 3 / 3

$2x-y=4$ と $4x-2y=8$ の解の個数は?

$0$個または $1$個無数解なし$1$つ

ヒントを見る答えと解説を見る

章末チャレンジ

固定された直線と、動かせる直線の交点を目標の点に合わせてください。 傾きスライダーと切片のドラッグを両方試すと、同じ交点を作る直線が複数あることも見えてきます。

動かす直線

傾き0.5切片-3

いまの交点は $(4, -1)$ です。目標は $(2, 1)$です。

執筆・監修: 中野竜之介（北海道大学大学院 数学専攻 博士課程・専門: 特殊関数論と代数幾何の交わり）

最終更新: 2026-07-05

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