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面積を短冊で測る — 微積コースの入口

微分の相棒が積分です。出発点は拍子抜けするほど素朴—— 「曲がった図形の面積を、短冊を並べて測る」。まずは振り返りから。

ウォームアップ — 第8章の振り返り

問1 / 1

赤と青の矢印をドラッグして、2本の和(黄色)を星印 (−2, 2) に重ねてください。どちらの矢印も短すぎないように。

a + b = (0.00, 1.50)(目標 (−2, 2))

触ってみる — 短冊が面積になる

分割数のスライダーを動かしてください。

分割数 n6

短冊の高さ左端中点右端

短冊が粗いうちは誤差が目立ちますが、細かくすると合計はある値に収束します。 この極限値が定積分 $\int_a^b f(x)\,dx$ です。

微分と積分は裏返し

数IIで習う計算ルールはこうでした:

$$\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$$

「微分すると $f$ に戻る関数(原始関数)を探せ」という指示です。 なぜ面積の計算が微分の逆算になるのか—— 「面積の増える速さは、その場所の高さに等しい」からです。 この事実(微積分学の基本定理)こそ微積分の最高傑作で、 その体感図(FtcLink)はこのコースの第15章に置いてあります(そのまま無料で読めます)。

この先の微積 — 何が増えるのか

数IIの範囲でできたことと、その先を正直にまとめます。

| | ここまで(数II) | このコース第10〜16章(無料) | 大学微積コース | |---|---|---|---| | 扱える関数 | 多項式のみ | 三角・指数対数・合成関数すべて | 同左 | | 極限 | 直感的に | 計算法則と不定形まで | ε-δによる厳密化・テイラー展開 | | 変数 | 1変数 | 1変数 | 多変数(勾配・機械学習の最適化) |

つまりあなたは今、微積の物語の第1章を読み終えたところです。 割線が接線になる瞬間も、短冊が面積になる瞬間も、もう手で触った—— 続きの計算と応用は第10章からすべて無料で、その先の厳密化と多変数の世界が大学微積コースです。

操作チャレンジ — 図で解く3問