面積を短冊で測る — 微積の入口

微分の相棒が積分です。出発点は拍子抜けするほど素朴で、 「曲がった図形の面積を、短冊を並べて測る」というものです。まずは振り返りから。

ウォームアップ — 第8章の振り返り

問1 / 1

問1・現在

リセット

赤と青の矢印をドラッグして、2本の和(黄色)を星印 $(-2, 2)$ に重ねてください。どちらの矢印も短すぎないように。

$a + b = (0.00, 1.50)$(目標 (−2, 2))

触ってみる — 短冊が面積になる

分割数のスライダーを動かしてください。

分割数 n6

短冊の高さ左端中点右端

短冊が粗いうちは誤差が目立ちますが、細かくすると合計はある値に収束します。 この短冊の面積の合計をリーマン和と呼び、その収束する先の極限値が定積分 $\displaystyle \int_a^b f(x)\,dx$ です。

微分と積分は裏返し

数IIで習う計算ルールはこうでした:

$$\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$$

「微分すると $f$ に戻る関数(原始関数)を探せ」という指示です。 なぜ面積の計算が微分の逆算になるのでしょうか。 「面積の増える速さは、その場所の高さに等しい」からです。 この事実は微積分学の基本定理と呼ばれ、 その体感図はこのコースの第15章に置いてあります(そのまま無料で読めます)。

この先の微積 — 何が増えるのか

数IIの範囲でできたことと、その先を正直にまとめます。

つまりあなたは今、微積の物語の第1章を読み終えたところです。 割線が接線になる瞬間も、短冊が面積になる瞬間も、もう手で触りました。 続きの計算と応用は第10章からすべて無料で、その先の厳密化と多変数の世界が大学微積コースです。

操作チャレンジ — 図で解く5問

式で確かめる

動かして掴んだ感覚を、式と言葉で確かめます。間違えても、ヒントと解説で戻れます。

確認 1 / 3

短冊の分割数を無限に増やしたとき、短冊の面積の合計が収束する先を何と呼びますか?

平均変化率微分係数接線の傾き定積分

ヒントを見る

確認 2 / 3

積分の計算ルール $\displaystyle \int x^n\,dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1} + C$ を使うと、$\displaystyle \int x^2\,dx = \dfrac{x^3}{(\text{分母})}$ の分母はいくつですか?

答え

±√π

確認

ヒントを見る

確認 3 / 3

「$\displaystyle \int x^n\,dx$ を求める」とは、どんな関数を探すことですか?

接線の傾きが 0 になる点グラフの最大値平均変化率微分すると元の関数に戻る関数(原始関数)

ヒントを見る