接線と変化率を触る

車の「平均時速」は距離÷時間で出ます。ではその瞬間の速度計の針は 何を指しているのでしょうか。「瞬間の変化率」を捕まえる道具が微分です。 数IIの範囲(多項式だけ)でも、微分の心臓部はぜんぶ体験できます。

触ってみる — 割線が接線になる瞬間

青い点をドラッグして、赤い点にじわじわ近づけてください。

点aのx座標

$a$

点bのx座標

$b$

点aは(-2.00, 2.40)、点bは(1.50, 1.44)。割線の傾きは-0.275、点aでの接線の傾きは0.600です。

2点を通る直線(割線)の傾きは平均変化率:

$$\frac{f(b) - f(a)}{b - a}$$

青い点を赤い点に近づけると、割線は1本の直線(接線)に落ち着きます。 この行き先の傾きが微分係数 $f'(a)$。「平均をどんどん短い区間で取った極限」です。

計算はあっけない

多項式の微分は1行のルールで済みます:

$$(x^n)' = n x^{n-1}$$

$f(x) = x^3 - 3x$ なら $f'(x) = 3x^2 - 3$。 計算は簡単です。出てきた $f'(x)$ は 「各地点での接線の傾き一覧表」だと読みます。

触ってみる — 傾きがグラフの形を決める

$f'(x) > 0$ なら増加、$f'(x) < 0$ なら減少。傾きの符号が切り替わる場所が 山(極大)と谷(極小)です。スライダーで係数を動かして、山と谷が 生まれたり消えたりする様子を見てください。

a(曲がり方)-1.00b(上下シフト)0.50

増減表とは、この「符号の切り替わり」を表に書いただけのものです。

理解チェック

$f(x) = x^2$ の $x = 3$ での接線の傾きは?

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$f'(x) = 2x$ なので $f'(3) = 6$。 上の図で確かめるなら「x=3付近で、xが1増えるとyが約6増える」ということです。 微分係数は局所の傾きの読み取りです。

もう1問: ある区間で接線の傾きがずっと負なら、グラフはその区間でどうなっているでしょうか?

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減少しています(右下がり)。接線の傾き = その場所での変化率なので、負なら進むほど下がる。「傾きの符号で増減が読める」というこの考え方が、微分の応用(第14章)の入口です。

式で確かめる

動かして掴んだ感覚を、式と言葉で確かめます。間違えても、ヒントと解説で戻れます。

確認 1 / 3

f(x) = $x^2$ の $x = 3$ での接線の傾き(微分係数)はいくつですか?

答え

±√π

確認

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確認 2 / 3

f(x) = $x^3 - 3x$ の導関数 $f'(x)$ はどれですか?

$3x - 3$$x^2 - 3$$3x^2 - 3$$3x^2 - 3x$

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確認 3 / 3

ある区間で $f'(x) > 0$ のとき、その区間で $f(x)$ はどうなっていますか?

増加している極大になる減少している一定である

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