接線と変化率を触る

車の「平均時速」は距離÷時間で出ます。ではその瞬間の速度計の針は何を指しているのか——「瞬間の変化率」を捕まえる道具が微分です。数IIの範囲(多項式だけ)でも、微分の心臓部はぜんぶ体験できます。

触ってみる — 割線が接線になる瞬間

青い点をドラッグして、赤い点にじわじわ近づけてください。

割線の傾き = -0.275　接線の傾き = 0.600

2点を通る直線(割線)の傾きは平均変化率:

\frac{f(b) - f(a)}{b - a}

青い点を赤い点に近づけると、割線は1本の直線——接線に落ち着きます。この行き先の傾きが微分係数 $f'(a)$ 。「平均をどんどん短い区間で取った極限」です。

多項式の微分は1行のルールで済みます:

(x^n)' = n x^{n-1}

$f(x) = x^3 - 3x$ なら $f'(x) = 3x^2 - 3$ 。計算は簡単。大事なのは、出てきた $f'(x)$ が「各地点での接線の傾き一覧表」だという読み方です。

$f'(x) > 0$ なら増加、 $f'(x) < 0$ なら減少。傾きの符号が切り替わる場所が山(極大)と谷(極小)です。スライダーで係数を動かして、山と谷が生まれたり消えたりする様子を見てください。

a-1.00b0.50

f(x) = x³/3 + ax + b　f′(x) = x² + a極値 x = ±1.00(赤)

増減表とは、この「符号の切り替わり」を表に書いただけのものです。

$f(x) = x^2$ の $x = 3$ での接線の傾きは?

答えを見る

$f'(x) = 2x$ なので $f'(3) = 6$ 。上の図で確かめるなら「x=3付近で、xが1増えるとyが約6増える」—— 微分係数は局所の傾きの読み取りです。