成分と内積 — 線形代数の入口

ベクトル同士の「掛け算らしきもの」が内積です。 答えがベクトルでなくただの数になるのが最初の驚きポイント。まずは振り返りから。

ウォームアップ — 第7章の振り返り

問1 / 1

問1・現在

リセット

シャツ3種類とズボンを組み合わせます。コーディネートを12通りにするズボンの種類数を探してください。

ズボンの種類 n2

シャツ3種 $\times$ ズボン2種 $= 6$ 通り(目標 12通り)

内積の2つの顔

$$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta = a_1 b_1 + a_2 b_2$$

• 図形の顔: 長さ×長さ×「向きの揃い具合($\cos\theta$)」
• 計算の顔: 成分を掛けて足すだけ

同じ量に2つの読み方があるので、「角度の問題」を「成分の計算」で解けるのです。

触ってみる — 内積は「影」

青い矢印を動かして、影(射影)がどう変わるか見てください。

ベクトル a の成分

$a_x$$a_y$

ベクトル b の成分

$b_x$$b_y$

ベクトル a は (1.5, 2.0)、ベクトル b は (3.0, 0.5)、内積は 5.50、なす角は 44 度です。a の b 方向への正射影は (1.78, 0.30)、影の長さは 1.81 です。

この図は、実は線形代数コース第1章とまったく同じ図です。 高校のベクトルと大学の線形代数は別物ではなく、地続きの一本道です。 ここまで来たあなたは、もう線形代数の入口に立っています。

垂直条件 — いちばん使う定理

$$\vec{a} \perp \vec{b} \iff \vec{a} \cdot \vec{b} = 0$$

$\cos 90° = 0$ だから、垂直なら内積は0。$\vec{a}, \vec{b}$ が零ベクトルでなければ、逆も成り立ちます。 「垂直を式で判定できる」ことの威力は、 線形代数コースの直交・射影・最小二乗法(機械学習の土台)で全開になります。

位置ベクトルと内分点

点の位置も原点からの矢印で表せます。点 $P$ が線分 $AB$ を $m:n$ に内分するとは、$AP:PB = m:n$ となるように $AB$ 上に $P$ を取ることです。その内分点は

$$\vec{p} = \frac{n\vec{a} + m\vec{b}}{m+n}$$

「重みつきの混ぜ合わせ」と読めば、これは線形結合(線形代数コース第2章)の先取りです。

操作チャレンジ — 図で解く5問

式で確かめる

動かして掴んだ感覚を、式と言葉で確かめます。間違えても、ヒントと解説で戻れます。

確認 1 / 3

a = (2, 1)、b = (3, −2) のとき、内積 $\vec{a}\cdot\vec{b}$ はいくつですか?

答え

±√π

確認

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確認 2 / 3

内積 $\vec{a}\cdot\vec{b} = 0$ のとき、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ の関係は?($\vec{a}, \vec{b}$ は零ベクトルでないとする)

平行している同じ向きを向く長さが等しい垂直(直交)している

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確認 3 / 3

$\vec{a} = (a_1, a_2)$、$\vec{b} = (b_1, b_2)$ の内積を成分で計算する式は?

$a_1a_2 + b_1b_2$$a_1b_2 + a_2b_1$$a_1b_1 + a_2b_2$$a_1b_1 - a_2b_2$

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