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成分と内積 — 線形代数の入口

ベクトル同士の「掛け算らしきもの」が内積です。 答えがベクトルでなくただの数になるのが最初の驚きポイント。まずは振り返りから。

ウォームアップ — 第7章の振り返り

問1 / 1

シャツ3種類とズボンを組み合わせます。コーディネートを12通りにするズボンの種類数を探してください。

ズボンの種類 n2

シャツ3種 × ズボン2種 = 6 通り(目標 12通り)

内積の2つの顔

$$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta = a_1 b_1 + a_2 b_2$$

• 図形の顔: 長さ×長さ×「向きの揃い具合($\cos\theta$)」
• 計算の顔: 成分を掛けて足すだけ

同じ量に2つの読み方がある——だから「角度の問題」を「成分の計算」で解けるのです。

触ってみる — 内積は「影」

青い矢印を動かして、影(射影)がどう変わるか見てください。

この図、実は線形代数コース第1章とまったく同じ図です。 高校のベクトルと大学の線形代数は別物ではなく、地続きの一本道—— ここまで来たあなたは、もう線形代数の入口に立っています。

垂直条件 — いちばん使う定理

$$\vec{a} \perp \vec{b} \iff \vec{a} \cdot \vec{b} = 0$$

$\cos 90° = 0$ だから、垂直なら内積は0。逆も成り立ちます。 「垂直を式で判定できる」ことの威力は、 線形代数コースの直交・射影・最小二乗法(機械学習の土台)で全開になります。

位置ベクトルと内分点

点の位置も原点からの矢印で表せます。線分ABを $m:n$ に内分する点は

$$\vec{p} = \frac{n\vec{a} + m\vec{b}}{m+n}$$

「重みつきの混ぜ合わせ」と読めば、これは線形結合(線形代数コース第2章)の先取りです。

操作チャレンジ — 図で解く3問