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矢印の足し算・伸び縮み

「東へ2km、北へ1km」——移動は向きと大きさのセットで決まります。 これを矢印で表したものがベクトルです。新課程ではベクトルは数C(選択)に移り、 高校で触れずに卒業する人が増えました。でも心配いりません。 必要な操作は「足す」と「伸ばす」の2つだけです。

触ってみる — 足し算は「継ぎ足し」

赤い点と青い点をドラッグしてください。黄色い矢印が2つの和です。

$\vec{a}$ の先端に $\vec{b}$ を継ぎ足した到達点が $\vec{a} + \vec{b}$。 成分で見れば $(a_1 + b_1,\ a_2 + b_2)$ と、ただの成分ごとの足し算です。 「図の継ぎ足し」と「成分の計算」が同じものだと分かれば、ベクトルの半分は終わりです。

伸ばす・縮める・裏返す

k = 1.5

実数 $k$ を掛けると、矢印は同じ直線上で $k$ 倍に伸び縮みします。 $k < 0$ なら向きが反転。この2操作(和と実数倍)を組み合わせると 「$2\vec{a} - \vec{b}$」のような式が図として読めるようになります。

力の分解 — 物理でもこの図

斜面に置いた荷物にかかる重力は、「斜面に沿う成分」と「斜面に垂直な成分」に 分解できます。分解とは、和の図を逆向きに読むこと—— 到達点が同じになる2本の矢印を探す操作です。次のレッスンの内積が、 この「成分の取り出し」を計算で行う道具になります。

理解チェック

$\vec{a} = (2, 1)$、$\vec{b} = (-1, 3)$ のとき $\vec{a} + 2\vec{b}$ は?

答えを見る

$2\vec{b} = (-2, 6)$ なので $\vec{a} + 2\vec{b} = (0, 7)$。 「$\vec{b}$ を2倍に伸ばしてから継ぎ足す」を成分でやっただけです。