矢印の足し算・伸び縮み

「東へ2km、北へ1km」。移動は向きと大きさのセットで決まります。 これを矢印で表したものがベクトルです。新課程ではベクトルは数C(選択)に移り、 高校で触れないまま卒業する人も増えていると言われています。でも心配いりません。 必要な操作は「足す」と「伸ばす」の2つだけです。

触ってみる — 足し算は「継ぎ足し」

赤い点と青い点をドラッグしてください。黄色い矢印が2つの和です。

ベクトル a の成分

$a_x$$a_y$

ベクトル b の成分

$b_x$$b_y$

ベクトル a は (2.0, 1.0)、ベクトル b は (-1.0, 2.0)、ベクトル a+b は (1.0, 3.0) です。

$\vec{a}$ の先端に $\vec{b}$ を継ぎ足した到達点が $\vec{a} + \vec{b}$。 成分で見れば $(a_1 + b_1,\ a_2 + b_2)$ と、ただの成分ごとの足し算です。 「図の継ぎ足し」と「成分の計算」が同じものだと分かれば、ベクトルの半分は終わりです。

伸ばす・縮める・裏返す

リセット

ベクトル a の成分

$a_x$$a_y$

$k = 1.5$

スカラー k は 1.5、ベクトル a は (2.0, 1.0)、スカラー倍 ka は (3.0, 1.5) です。

実数 $k$ を掛けると、矢印は同じ直線上で $k$ 倍に伸び縮みします。 $k < 0$ なら向きが反転。この2操作(和と実数倍)を組み合わせると 「$2\vec{a} - \vec{b}$」のような式が図として読めるようになります。

力の分解 — 物理でもこの図

斜面に置いた荷物にかかる重力は、「斜面に沿う成分」と「斜面に垂直な成分」に 分解できます。分解とは、和の図を逆向きに読むことです。 到達点が同じになる2本の矢印を探す操作です。次のレッスンの内積が、 この「成分の取り出し」を計算で行う道具になります。

理解チェック

$\vec{a} = (2, 1)$、$\vec{b} = (-1, 3)$ のとき $\vec{a} + 2\vec{b}$ は?

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$2\vec{b} = (-2, 6)$ なので $\vec{a} + 2\vec{b} = (0, 7)$。 「$\vec{b}$ を2倍に伸ばしてから継ぎ足す」を成分でやっただけです。

もう1問: a = (1, 2)、b = (3, −1) のとき 2a − b は?

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(−1, 5) です。2a = (2,4) から b を引いて (2−3, 4−(−1))。成分ごとに計算すればよく、図では「aを2倍してからbの逆向きを継ぎ足す」ことに対応します。

式で確かめる

動かして掴んだ感覚を、式と言葉で確かめます。間違えても、ヒントと解説で戻れます。

確認 1 / 3

a = (2, 1)、b = (−1, 3) のとき、$\vec{a} + 2\vec{b}$ はどれですか?

(0, 7)(1, 5)(0, 5)(1, 7)

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確認 2 / 3

a = (1, 2)、b = (3, −1) のとき、$2\vec{a} - \vec{b}$ の $x$ 成分はいくつですか?

答え

±√π

確認

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確認 3 / 3

ベクトルに負の実数 $k$ を掛けると、矢印はどうなりますか?

長さだけ変わり向きは同じ原点に消える垂直な向きに回る同じ直線上で向きが反転する

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