条件付き確率と期待値

前のレッスンの最後に「情報で確率が変わる」を100人の格子で見ました。 このレッスンでは、それを計算できる形にし、もうひとつの実戦道具である 期待値(くじは引くべきか?)を手に入れます。

ウォームアップ — 第7章の振り返り

問1 / 1

問1・現在

リセット

シャツ3種類とズボンを組み合わせます。コーディネートを12通りにするズボンの種類数を探してください。

ズボンの種類 n2

シャツ3種 $\times$ ズボン2種 $= 6$ 通り(目標 12通り)

「戻さない」と確率が動く

12個の玉(赤4・白8)から2個続けて引きます(戻さない)。2回とも赤の確率は:

$$P = \frac{4}{12} \times \frac{3}{11}$$

2回目の分数は $\frac{3}{11}$ に変わっています。 1回目に赤を引いたという条件のもとで、残りは赤3個・全体11個。 この「条件つきで測り直した確率」が条件付き確率 $P(B \mid A)$ で、 掛け算の正体は

$$P(A \cap B) = P(A) \times P(B \mid A)$$

独立な試行(サイコロ2回)では $P(B \mid A) = P(B)$ に戻ります。 前のレッスンの「独立は掛け算」は、実はこの式の特別な場合でした。

触ってみる — 期待値は「長い目で見た平均」

100本くじ: 1等500円が1本、2等100円が9本、はずれ90本。1回いくらの価値があるか?

$$E = \frac{500 \times 1 + 100 \times 9 + 0 \times 90}{100} = 14 \text{ 円}$$

本当に14円に落ち着くのか、実際に引いて確かめてください。

+1回引く+100回引く+1000回引くリセット

0回引いて 平均 0.00 円/回

種明かし — ばらつきは消え、平均は残る

数回では500円が出たり0円が続いたり大荒れですが、回数を増やすと 平均は期待値14円へ吸い寄せられます。「参加費が期待値より高いくじは、 引くほど主催者が儲かる」という原理は、保険やガチャ、宝くじの設計にも使われています。

大学への接続

「回数を増やすと平均が期待値へ向かう」現象の正式名称が大数の法則、 そのばらつき方まで教えてくれるのが中心極限定理です。統計コース第6章のCLTマシンで、 今日と同じ「押して確かめる」体験が待っています。条件付き確率の続き(ベイズの定理)は 統計コース第3章「検査のパラドックス」へ。

操作チャレンジ — 図で解く3問

式で確かめる

動かして掴んだ感覚を、式と言葉で確かめます。間違えても、ヒントと解説で戻れます。

確認 1 / 3

100本くじ(1等500円1本・2等100円9本・はずれ90本)の期待値は1回あたり何円ですか?

答え

±√π

円確認

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確認 2 / 3

12個の玉(赤4・白8)から2個続けて引く(戻さない)とき、2回とも赤になる確率はいくつですか?(小数で)

答え

±√π

確認

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確認 3 / 3

試行 $A$ と $B$ が独立のとき、条件付き確率 $P(B \mid A)$ はどうなりますか?

常に 1 になる$P(A)$ に等しい0 になる$P(B)$ に等しい

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