確率へ — 統計コースの入口

前のレッスンで数え上げの原則を学びました。それが使えれば、確率の計算は「割合を求めること」に帰着します。まずは振り返りから。

ウォームアップ — 第6章の振り返り

問1 / 1

問1・現在

リセット

初項3の等差数列があります。公差dを動かして、第5項をちょうど19にしてください。

3.04.05.06.07.0

公差 d1

第5項 $= 3 + 4d = 7.0$(目標 19)

確率 = 数えて割る

すべての場合が同様に確からしいとき:

$$P(A) = \frac{\text{Aの場合の数}}{\text{すべての場合の数}}$$

サイコロで偶数が出る確率は $3/6 = 1/2$。分子も分母も前回の「数え上げ」です。 面倒な事象は余事象(起きない場合)から数えます。 「少なくとも1回」ときたら $1 - P(\text{1回もない})$ が定石です。

独立な試行は掛け算

コインを2回投げて2回とも表になる確率は $\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$。 1回目の結果が2回目に影響しない(独立)とき、確率は積の法則で掛け算になります。

では「10回中ちょうど3回表」は? 表3回の選び方が $_{10}\mathrm{C}_3$ 通りあるので

$$P = {}_{10}\mathrm{C}_3 \left(\tfrac{1}{2}\right)^{10}$$

回数ごとの確率を並べると、山の形が見えてきます(これが二項分布の正体):

試行回数 n10成功確率 p0.50

情報で確率が変わる — 条件付き確率

「陽性と分かった」など、情報を得ると分母(考える集団)が絞られます。

「陽性の人だけ」に絞る

全体では病気は10%なのに、「陽性の人だけ」に絞ると割合が変わります。 これが条件付き確率です。この図の本格版(検査のパラドックス)が 統計コース第3章の主役。ベイズの定理まで、あと半歩の位置にいます。

操作チャレンジ — 図で解く3問

式で確かめる

動かして掴んだ感覚を、式と言葉で確かめます。間違えても、ヒントと解説で戻れます。

確認 1 / 3

サイコロを1回振って偶数の目が出る確率はいくつですか?(小数で)

答え

±√π

確認

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確認 2 / 3

コインを2回投げて2回とも表になる確率はいくつですか?(小数で)

答え

±√π

確認

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確認 3 / 3

「少なくとも1回起きる」確率を求めるときの定石はどれですか?

$P(\text{全部起きる})$$P(\text{1回だけ起きる})$そのまま足し上げるしかない$1 - P(\text{1回も起きない})$

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