定義・定理・公式まとめ

$y = f(x)$

入力を入れると出力が返ってくる機械。式より先にグラフという「顔」を見る

$y = a(x-p)^2 + q$

頂点をドラッグすると式のその部分だけが動く。$p,q$ は頂点の住所

二次関数なので $a\ne0$($a=0$ だと直線 $y=q$ になり頂点は定まらない)

$D = b^2 - 4ac$

放物線と $x$ 軸の交点の個数を、グラフを描かずに数える道具

二次方程式 $ax^2+bx+c=0$($a\ne0$)について。$D>0$ で2交点、$D=0$ で接する(重解)、$D<0$ で実数解なし

区間を右へ動かすと最小の場所は 右端 → 頂点 → 左端 の順に乗り換わる

頂点と区間の位置関係を1枚の図に描けば場合分けは自動で出てくる

下に凸($a>0$)の場合。動かす向きを逆にすれば順序も逆になる。存在の保証には閉区間で連続であることが前提

$\sin\theta = \text{高さ},\quad \cos\theta = \text{底辺}$

斜辺を1に固定した直角三角形の、辺の比につけた名前

$\text{高さ} = \text{距離} \times \tan\theta$

木に登らなくても、距離と見上げ角だけで高さが出る

「距離」は水平距離で、観測点と対象の根元が同一水平面にある前提。実測では観測者の目の高さを別に足す

$\cos\theta = x,\quad \sin\theta = y$(単位円上の点)

直角三角形の外へ引っ越すと、鈍角にも比が定義できる

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$

ピタゴラスの定理に角度の補正項がつく。$C=90°$ で元に戻る

$y = \sin\theta$(単位円上の点の高さ)

円周上の点の高さを横に流すと波になる

$360^\circ = 2\pi$

半径1の円を、弧の長さで測った角度

$y = A\sin(\omega x + \varphi)$

振幅・角振動数・位相を触ると波の高さ・詰まり具合・スタート位置が変わる

振幅は $|A|$、周期は $\omega\ne0$ で $2\pi/|\omega|$($\omega=0$ なら定数関数)。$\varphi$ は初期位相で、横方向の移動量は $-\varphi/\omega$

$\sin(\alpha+\beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$

「$\alpha$ 回してからさらに $\beta$ 回す」回転の合成を成分で書いただけ

$\sin x = k\ (-1\le k\le1),\ \theta=\arcsin k:\ x\equiv\theta\ \text{or}\ 180^\circ-\theta \pmod{360^\circ}$

水平線と単位円の交点は $y$ 軸について対称。主値 $\theta$ が範囲外なら $360^\circ$ を足して範囲内へ($k<0$ では $\theta+360^\circ$ 側が第4象限の解)

$y = a^x$

$a>1$ で爆発、$a=1$ で一定、$0<a<1$ で減衰

$a^m \times a^n = a^{m+n}$

掛ける回数を足すだけ。負の指数・0乗もこの法則を守った帰結

$\text{量} = 100 \left(\dfrac{1}{2}\right)^{t/T}$

時間を年数でなく「半減が起きた回数」で数える

$\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n \to e = 2.71828\ldots$

複利の分割をどこまでも細かくすると、ある数に頭打ちする

$\log_a x = k \iff a^k = x$

「$a$ を何乗すると $x$ になるか」を返す

底 $a>0,\ a\ne1$、真数 $x>0$ が定義の条件

$\log_{10} 10^n = n$

同じ倍率だけ離れた値どうしが、対数目盛りでは等距離に並ぶ

$\log_{10}x$ は大きさのオーダーを測る。正の整数 $N$ の桁数は $\lfloor\log_{10}N\rfloor+1$ で、対数値そのものは桁数ではない

$\log(MN) = \log M + \log N$

掛け算を足し算に変える。累乗は $\log M^k = k\log M$ で掛け算に変わる

底 $a>0,\ a\ne1$、真数 $M,N>0$ が前提($M=N=-1$ では左辺は定義できても右辺が定義できない)

$y=a\cdot b^x \Rightarrow \log_{10} y = \log_{10} a + x\log_{10} b$

指数関数は縦軸を対数目盛りにすると直線になる

$a>0,\ b>0$ が前提(対数をとる真数が正である必要がある)

$a_n = a + (n-1)d$

初項から公差を $n-1$ 回足す、をそのまま式にする

$a_n = a \cdot r^{\,n-1}$

等比数列は指数関数の飛び石

$\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k = \dfrac{n(n+1)}{2}$

両端からペアを作ると同じ数の組がいくつもできる(ガウス少年の逸話)

$\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty} r^k = \dfrac{1}{1-r}\ (|r|<1)$

正方形が埋まっていく先。無限に足しても有限に収まる

$a_{n+1}=ra_n+1 \Rightarrow x=\dfrac{1}{1-r}$

クモの巣図の階段が吸い込まれる先(入れても値が変わらない場所)

$r\ne1$ が前提($r=1$ だと $x=x+1$ となり不動点は存在しない)。$|r|<1$ で不動点に収束、$|r|>1$ では初項が不動点でない限り発散

「同時に起きない」→ 足す、「それぞれに対して」→ 掛ける

場合の数のほぼすべてがこの2つの読み替えでできている

${}_n\mathrm{P}_r = n(n-1)\cdots(n-r+1),\quad {}_n\mathrm{C}_r = \dfrac{{}_n\mathrm{P}_r}{r!}$

並べてから、気にしない並び順のダブり $r!$ を割って消す

$n,r$ は整数で $0\le r\le n$

${}_n\mathrm{C}_r = {}_{n-1}\mathrm{C}_{r-1} + {}_{n-1}\mathrm{C}_r$

$n$ 個目を選ぶ場合と選ばない場合に分かれる

$P(A) = \dfrac{\text{Aの場合の数}}{\text{すべての場合の数}}$

「少なくとも1回」は余事象 $1-P(\text{1回もない})$ が定石

この「数えて割る」式が使えるのは、根元事象が同様に確からしい場合

$P(A\cap B) = P(A)\,P(B\mid A),\quad E = \sum x\,P(x)$

「戻さない」と確率が動く。期待値は長い目で見た1回あたりの平均

$P(B\mid A)$ は $P(A)>0$ のときに定義される

$\vec{a}+\vec{b} = (a_1+b_1,\ a_2+b_2)$

$\vec{a}$ の先端に $\vec{b}$ を継ぎ足した到達点

$k\vec{a}$

同じ直線上で $k$ 倍。$k<0$ なら向きが反転

$\vec{a}\cdot\vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta = a_1b_1+a_2b_2$

図形の顔(影・射影)と計算の顔(成分の掛け算)が同じ量

$|\vec a||\vec b|\cos\theta$ の形は $\vec a,\vec b\ne\vec0$ のとき(零ベクトルとのなす角は定義されない)。成分の式は零ベクトルでも成り立つ

$\vec{a}\perp\vec{b} \iff \vec{a}\cdot\vec{b}=0$($\vec a,\vec b\ne\vec0$)

$\cos90°=0$ だから、垂直かどうかが内積だけで判定できる

なす角を考えるので両ベクトルが非零であることが前提

$f'(a) = \displaystyle\lim_{h\to0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$

割線をどんどん短い区間で取ると、1本の接線に落ち着く

$(x^n)' = nx^{n-1}$

$f'(x)$ は各地点での接線の傾き一覧表

この章では $n$ は正の整数。実数指数へ拡張しても($x>0$ で)同じ形が成り立つ

$\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^n f(x_i)\Delta x$

短冊を細かくすると、面積の近似値がある値に収束する

$\displaystyle\int x^n\,dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1} + C\ (n\neq-1)$

「微分すると $f$ に戻る関数(原始関数)を探せ」という指示

$\sin(ax) + b$

式の「中」への操作は横に、「外」への操作は縦に効く

$f(x-3)$

中の $x$ が3だけ損をするぶん、横軸が3遅れて右にずれる

$f(g(x))$

機械を直列につなぐ。中間変数 $u=g(x)$ を経由して内側から計算する

$(a,b)\in f \iff (b,a)\in f^{-1}$

入力と出力の役割を入れ替えるだけで、グラフは $y=x$ で折り返る

逆関数が関数として定まるのは、対象の範囲で $f$ が1対1(単射)のとき。逆関数の定義域は元の値域になる

$\displaystyle\lim_{x\to a} f(x)$

その点に着く前に、値がどこへ向かっているか。$f(a)$ が無くても極限はある

$\displaystyle\lim_{x\to a} f(x) = f(a)$

「向かう先」と「実際の値」が一致していること

$\dfrac{x^2-4}{x-2} = x+2\ (x\ne2) \xrightarrow{x\to2} 4$

$x=2$ では左辺は未定義だが、$2$ 以外の近傍で $x+2$ に一致するから極限は $4$

$\dfrac{2x+1}{x} = 2+\dfrac{1}{x} \to 2$

最高次の項で割って整理すれば行き先が見える

$f'(a) = \displaystyle\lim_{h\to0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$

割線の傾きの極限が、接線の傾き

$f(x) \approx f(a) + f'(a)(x-a)$

なめらかな曲線は、拡大すればするほど直線に見える

$(x^n)' = nx^{n-1}$

二項展開して約分すると、第2項だけが $h\to0$ で生き残る

この二項展開による導出が直接効くのは正の整数 $n$。負の指数・実数指数では別の証明(または $x>0$ で定義域を限定)が要る

$(fg)' = f'g + fg'$

縦 $g$・横 $f$ の長方形の面積の増分は、縦帯と横帯の和

$f,g$ がその点で微分可能であることが前提

$\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy}{du}\cdot\dfrac{du}{dx}$

直列につないだ機械の速さは掛け算になる

$(f\circ g)'(x)=f'(g(x))g'(x)$。$g$ が $x$ で、$f$ が $g(x)$ で微分可能であることが前提

$(e^x)'=e^x,\ (\sin x)'=\cos x,\ (\ln x)'=\dfrac{1}{x}$

$e^x$ は自分の高さがそのまま自分の傾きになる特別な底

$(\ln x)'=1/x$ は $x>0$、三角関数の公式は角を弧度法(ラジアン)で測るときに成立

$\ln y = x\ln x \Rightarrow y' = x^x(\ln x+1)$

べきにも底にも $x$ がいる関数は、$\ln$ で積の形に落としてから微分する

$\ln y$ を使う標準的な導出は $x>0$ で行う

$f'(x)>0 \Rightarrow \text{増加},\quad f'(x)<0 \Rightarrow \text{減少}$

傾きの符号が切り替わる場所が山(極大)と谷(極小)

$f''(x)>0 \Rightarrow \text{下に凸}$

$f''$ の符号でグラフが上下どちらに膨らむかが決まる

$f'(c) = \dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}\ (a<c<b)$

平均の傾きと同じ瞬間の傾きが、区間の途中に必ずある

$f$ が閉区間 $[a,b]$ で連続かつ開区間 $(a,b)$ で微分可能であることが前提

$f'=0$ の点・微分不可能な点・端点

増減表は内側しか見ていないので、区間の縁を別枠で必ず確認する

最大・最小の存在自体は、閉区間で $f$ が連続であることが前提(開区間だと存在しないことがある)

$\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^n f(x_i)\Delta x$

短冊を細かくすると、合計値がある値に収束する

$S'(x) = f(x)$

面積関数の増える速さは、その瞬間の高さに等しい

$S(x)=\int_a^x f$ に対し $S'(x)=f(x)$ が成り立つには、少なくともその点で $f$ が連続であることが必要

$\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx = F(b)-F(a)\ (F'=f)$

短冊を無限に足す作業が、引き算1回で終わる

$\displaystyle\int_0^{2\pi} \sin x\,dx = 0$

グラフの下側($f<0$)は負の面積として引かれる

$\displaystyle\int f(g(x))g'(x)\,dx = \int f(u)\,du$

変数を付け替えても、伸縮の補正込みで面積は保存される

$\displaystyle\int f g'\,dx = fg - \int f'g\,dx$

積の法則 $(fg)'=f'g+fg'$ の逆再生

$\displaystyle\int_1^\infty \dfrac{dx}{x^p}$ は $p>1$ で収束、$p\le1$ で発散

減衰の速さがすべてを決める。境目は $p=1$

$V = \displaystyle\int_a^b \pi f(x)^2\,dx$

半径 $f(x)$ の薄い円盤を積み上げる

$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$

中心 $(a,b)$ から距離 $r$ の点の集まり

$d = \dfrac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$

斜めに測るのではなく、直線に垂直に下ろした最短距離

$A,B$ は同時には $0$ でない($A=B=0$ だと直線を表さず分母も $0$ になる)

$M=(2+\cos t,\ \sin t) \Rightarrow (x-2)^2+y^2=1$

円上を動く $Q$ と定点の中点 $M$ の足跡を、$t$ を消去して1本の式にする

$x\geq-1,\ y\geq0,\ x+y\leq3$

境界線を引いて、どちら側かを1つずつ選んでいくと領域が残る

$(a+bi)+(c+di) = (a+c)+(b+d)i$

足し算・引き算は成分ごとの計算

$i(a+bi) = -b+ai$

$i^2=-1$ は、90°回転を2回行うと180°回転になるという意味

$|zw| = |z||w|,\quad \arg(zw) \equiv \arg z + \arg w \pmod{360^\circ}\ (z,w\ne0)$

複素数の掛け算は、長さの拡大縮小と角度の回転を同時に行う操作(偏角は $360^\circ$ を法として等しい)

$\{r(\cos\theta+i\sin\theta)\}^n = r^n(\cos n\theta+i\sin n\theta)$

$n$ 回掛けるたびに角度が $\theta$ ずつ回る

反復乗算で直接成り立つのは整数 $n$。任意の実数指数では複素べきが多価になる