sin・cos・tan は「比の名前」

サイン・コサインで数学が嫌いになった人は多いはずです。でも正体は拍子抜けするほど単純で、直角三角形の辺の比につけた名前にすぎません。そして角度を決めると、三角形の大きさによらず比が1つに決まります。それだけの話です。

触ってみる — 角度が比を決める

角度スライダーを動かしてください。三角形が変形し、3つの比が連動します。

角度 θ35°

斜辺を1に固定してあるので、そのまま:

• 高さ = $\sin\theta$(青)
• 底辺 = $\cos\theta$(緑)
• 高さ ÷ 底辺 = $\tan\theta$(坂の勾配そのもの)

角度を決めれば形が決まる。形が決まれば比が決まる。だから「$\sin 30° = 0.5$」は暗記事項ではなく、30°の三角形の観察結果です。

三角比は「測れないものを測る」道具

古代から三角比が使われてきた理由は実用です。木に登らなくても、距離と見上げ角だけで高さが出ます。

見上げ角 θ25°

$$\text{高さ} = \text{距離} \times \tan\theta$$

地図の等高線、スロープの勾配標識(「8%」は $\tan\theta = 0.08$)、測量も、みなこの1行の考え方に基づいています。

試してみよう

• $\theta$ を大きくすると $\sin$ は増え、$\cos$ は減ります。高さと底辺の綱引きです
• $\theta = 45°$ で $\sin = \cos$。正方形の対角線の三角形です
• $\tan$ は $85°$ 付近で爆発します。底辺がほぼ0になるからです

理解チェック

スロープの勾配が「$\tan\theta = 0.1$」のとき、水平に20m進むと何m上がるでしょうか?

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$20 \times 0.1 = 2$m です。$\tan$ は「横に1進むと縦にいくつ上がるか」。上の測量の図で、角度を約6°にすると $\tan\theta \approx 0.1$ になることも確かめられます。

もう1問: $\sin 60^\circ$ と $\cos 30^\circ$ はどちらが大きいでしょうか?

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同じ値($\sqrt{3}/2$)です。60°の三角形を裏返すと30°の三角形になります。$\sin\theta = \cos(90^\circ-\theta)$(余角の関係)。図で三角形を回して確かめてください。

式で確かめる

動かして掴んだ感覚を、式と言葉で確かめます。間違えても、ヒントと解説で戻れます。

確認 1 / 3

勾配が $\tan\theta = 0.05$ の坂を、水平に40m進みます。高さは何m上がりますか?

答え

±√π

m確認

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確認 2 / 3

$\theta$ を $0^\circ$から大きくしていくと、$\sin\theta$ と $\cos\theta$ はどう変化しますか?

両方とも増える$\sin\theta$ は減り、$\cos\theta$ は増える$\sin\theta$ は増え、$\cos\theta$ は減る両方とも減る

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確認 3 / 3

$\sin 60^\circ$ と $\cos 30^\circ$ の大小関係は?

角度が違うので比べられない等しい$\cos 30^\circ$ の方が大きい$\sin 60^\circ$ の方が大きい

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