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sin・cos・tan は「比の名前」

サイン・コサインで数学が嫌いになった人は多いはずです。 でも正体は拍子抜けするほど単純で、直角三角形の辺の比につけた名前にすぎません。 そして角度を決めると、三角形の大きさによらず比が1つに決まる — それだけの話です。

触ってみる — 角度が比を決める

角度スライダーを動かしてください。三角形が変形し、3つの比が連動します。

角度 θ35°

斜辺を1に固定してあるので、そのまま:

• 高さ = $\sin\theta$(青)
• 底辺 = $\cos\theta$(緑)
• 高さ ÷ 底辺 = $\tan\theta$(坂の勾配そのもの)

角度を決めれば形が決まる。形が決まれば比が決まる。だから 「$\sin 30° = 0.5$」は暗記事項ではなく、30°の三角形の観察結果です。

三角比は「測れないものを測る」道具

古代から三角比が使われてきた理由は実用です。 木に登らなくても、距離と見上げ角だけで高さが出ます。

見上げ角 θ25°

$$\text{高さ} = \text{距離} \times \tan\theta$$

地図の等高線、スロープの勾配標識(「8%」は $\tan\theta = 0.08$)、 測量 — すべてこの1行です。

試してみよう

• $\theta$ を大きくすると $\sin$ は増え、$\cos$ は減る — 高さと底辺の綱引き
• $\theta = 45°$ で $\sin = \cos$ — 正方形の対角線の三角形
• $\tan$ は $85°$ 付近で爆発する — 底辺がほぼ0になるから

理解チェック

スロープの勾配が「$\tan\theta = 0.1$」のとき、水平に20m進むと何m上がるでしょうか?

答えを見る

$20 \times 0.1 = 2$m です。$\tan$ は「横に1進むと縦にいくつ上がるか」。 上の測量の図で、角度を約6°にすると $\tan\theta \approx 0.1$ になることも確かめられます。