二次関数を使いこなす — 最大最小・解の配置

前のレッスンで「最大最小は頂点か端」「判別式は交点の個数」と分かりました。 このレッスンは、高校で最難関だった応用2つ(区間が動く最大最小と解の配置)を 図で潰します。まずは振り返りから。

ウォームアップ — 第1章の振り返り

問1 / 1

問1・現在

リセット

頂点(赤い点)をドラッグして、放物線 $y = (x-p)^2 + q$ の頂点を星印 $(2, -1)$ に合わせてください。

$y = (x - -1.00)^2 + 2.00$

触ってみる — 区間が動くと「最小の場所」が乗り換わる

関数 $f(x) = (x-2)^2 + 1$ の定義域を、幅2の区間 $[a,\ a+2]$ に絞ります。 緑の区間をスライドして、赤い「最小」の点がどう動くか見てください。

区間の左端 a-1.50

種明かし — 場合分けは3行に縮む

最小値を取る場所は、区間をスライドすると 左端 → 頂点 → 右端 の順に乗り換わります。 教科書の場合分けはこの3状態を文字で書いただけです:

• 頂点 $x=2$ が区間より右 ($a+2 < 2$) → 右端が最小
• 頂点が区間の中 ($a \le 2 \le a+2$) → 頂点が最小
• 頂点が区間より左 ($2 < a$) → 左端が最小

「どの場合か」を暗記するのではなく、頂点と区間の位置関係を1枚の図に描けば、 場合分けは自動的に生えてきます。

解の配置 — 係数をつまみとして回す

方程式 $x^2 - 2x + c = 0$ の $c$ を動かすと、放物線が上下し、 $x$ 軸との交点(= 解)が生まれたり消えたりします。

c-2.00

「解が2つとも正」「解が1と3の間」のような解の配置問題は、 この図で3つを確認するのが定石です:

1. そもそも交わるか(判別式 $D$)
2. 軸(頂点の $x$ 座標)はどこか
3. 端点での値 $f(0)$ などの符号

大学への接続

「パラメータを動かして解の様子を見る」操作は、線形代数の固有値(行列のパラメータで 空間の潰れ方が変わる)や、統計の検定(閾値を動かすと判定が変わる)と同じ発想です。

操作チャレンジ — 図で解く3問

式で確かめる

動かして掴んだ感覚を、式と言葉で確かめます。間違えても、ヒントと解説で戻れます。

確認 1 / 3

$f(x) = (x-2)^2 + 1$ の最小値はいくつですか?(定義域は実数全体)

答え

±√π

確認

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確認 2 / 3

頂点が定義域の区間より右にはみ出しているとき、最小値をとるのはどこですか?

区間の中央区間の左端区間の右端頂点

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確認 3 / 3

$x^2 - 2x + c = 0$ が重解をもつ(放物線が $x$ 軸に接する)のは $c$ がいくつのときですか?

答え

±√π

確認

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