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二次関数を使う — 最大最小と「接する」

前回、放物線は「頂点の住所 $+$ 開き具合」で決まると分かりました。 今回はそれを使う練習です。高校で挫折ポイントだった「場合分け」と「判別式」も、 図で見れば1行で済みます。

最大・最小は「頂点か、端っこか」

定義域(入力の範囲)が絞られたとき、最大値・最小値の候補は2種類しかありません:

• 頂点(範囲の中にあれば)
• 範囲の端

教科書の場合分けが複雑に見えるのは、「頂点が範囲に入るか・入らないか」を 文字で書いているからです。図では、頂点をドラッグして範囲の外に出せば 「端が最小に切り替わる」瞬間が見えます。

a(開き)1.00

「解く」= 交点を探す

方程式 $ax^2+bx+c = 0$ の解は、放物線と $x$ 軸(直線 $y=0$)の交点の位置です。 すると判別式 $D = b^2 - 4ac$ の正体も図で言えます:

• $D > 0$: 交点2個(すぱっと刺さる)
• $D = 0$: 交点1個(接する — 生まれる/消える境目)
• $D < 0$: 交点0個(届かない)

判別式は「交点の個数を、グラフを描かずに数える道具」だったのです。

大学への接続

この「関数の顔を読む」訓練は、微積分コース第1章(関数を動かして見る)にそのまま続きます。 また統計コースの回帰分析は「データに関数を当てはめる」操作 — つまり関数は これから全コースで主役です。

操作チャレンジ — 図で解く3問