二次関数を使う — 最大最小と「接する」

前回、放物線は「頂点の住所 $+$ 開き具合」で決まると分かりました。今回はそれを使う練習です。高校で挫折ポイントだった「場合分け」と「判別式」も、図で見れば1行で済みます。

最大・最小は「頂点か、端っこか」

定義域(入力の範囲)が絞られたとき、最大値・最小値の候補は2種類しかありません:

教科書の場合分けが複雑に見えるのは、「頂点が範囲に入るか・入らないか」を文字で書いているからです。図では、頂点をドラッグして範囲の外に出せば「端が最小に切り替わる」瞬間が見えます。

a(開き)1.00

y = 1.00(x - 1.00)^2 + -1.00

— 赤い点(頂点)をドラッグ

方程式 $ax^2+bx+c = 0$ の解は、放物線と $x$ 軸(直線 $y=0$ )の交点の位置です。すると判別式 $D = b^2 - 4ac$ の正体も図で言えます:

判別式は「交点の個数を、グラフを描かずに数える道具」だったのです。

この「関数の顔を読む」訓練は、微積分コース第1章(極限を ε-δ で厳密に言い切る)へそのまま続きます。また統計コースの回帰分析は「データに関数を当てはめる」操作です。つまり関数はこれから全コースで主役です。

問1 / 5

頂点(赤い点)をドラッグして、放物線 $y = (x-p)^2 + q$ の頂点を星印 $(2, -1)$ に合わせてください。

$y = (x - -1.00)^2 + 2.00$

動かして掴んだ感覚を、式と言葉で確かめます。間違えても、ヒントと解説で戻れます。

確認 1 / 3

判別式 $D > 0$ のとき、放物線と $x$ 軸の交点は何個ですか?

確認 2 / 3

$x^2 - 4x + 3 = 0$ の判別式 $D = b^2 - 4ac$ の値はいくつですか?

答え

確認 3 / 3

$D = 0$ のとき、放物線と $x$ 軸の関係は?

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執筆: 榎本颯斗／監修: 中野竜之介

中野竜之介: 北海道大学大学院数学専攻博士課程・専門: 特殊関数論と代数幾何の交わり

数学レビュー協力: 野田一成･木村敏樹

最終更新: 2026-07-05

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