関数 = 対応のルール

「$y = f(x)$」という記号を見た瞬間に本を閉じた経験はありませんか。関数の正体は記号ではなく、入力を入れると出力が返ってくる機械です。数学のほとんど、そして機械学習の多くの手法は、この機械の性質を調べる営みです。

触ってみる — 機械に数を入れる

スライダーで入力 $x$ を動かしてください。機械(2乗する)が出力 $y$ を返し、その対応の全記録が曲線として浮かび上がります。

入力 x = 1.50→2乗する機械→出力 y = 2.25

入力 x1.50

グラフにする前に、「どの入力がどの出力へ送られるか」だけを取り出して見ることもできます。次の図では、左の定義域(入力 $x$ が動ける値の集まり)から右の値域(出力 $y$ として実際に現れる値の集まり)へ、$x$ が $y=x^2$ に対応する矢印を追います。

定義域 $D=\{-2,-1,0,1,2\}$対応 $f(x)=x^2$$f(1.00)=1.00$

入力 $x$$x=1.00$

グラフは関数の「顔」

1つの入力に1つの出力が対応します。この対応を全部プロットしたものがグラフです。つまりグラフを見れば、計算しなくても関数の性格(増える・減る・折り返す)が読めます。「式を変形する」前に「顔を見る」。これがこのコース全体の流儀です。

二次関数 — 放物線を操る

高校数学最初の山、二次関数。式はこう書けます:

$$y = a(x - p)^2 + q$$

記号が3つもあって嫌になりますが、頂点をドラッグすれば意味は一瞬です。

a(開き)1.00

• $p, q$ は頂点の住所(ドラッグすると式のその部分だけが変わる)
• $a$ は開き具合(負にするとひっくり返る)

教科書の「平方完成」とは、$y = ax^2+bx+c$ をこの「住所が読める形」に書き替える作業のことです。式変形の目的は、頂点の住所を知ることだったのです。

試してみよう

• $a$ を $0$ に近づける → 放物線が直線に寝ていく
• 頂点を $y$ 軸の上に置く → 式から $p$ が消える($p=0$)
• $a < 0$ で頂点を高い場所へ → 「最大値」が頂点になる理由が見える

理解チェック

$y = (x-3)^2 + 2$ の頂点はどこでしょうか?

答えを見る

$(3, 2)$ です。式の中の $-3$ と $+2$ がそのまま住所。上の図で頂点を $(3, 2)$ にドラッグして、式が一致することを確かめてください。

もう1問: $y = 2x^2 + 4x + 5$ の頂点はどこでしょうか?

答えを見る

平方完成すると $y = 2(x+1)^2 + 3$。頂点は $(-1, 3)$ です。$x^2$の係数2を外に出してから中を平方完成するのがコツ($4x$ の半分の2ではなく、くくった後の $2x$ の半分で考える)。

式で確かめる

動かして掴んだ感覚を、式と言葉で確かめます。間違えても、ヒントと解説で戻れます。

確認 1 / 3

$y = (x-3)^2 + 2$ の頂点はどこですか?

(3, −2)(−3, 2)(3, 2)(2, 3)

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確認 2 / 3

$y = 2x^2 + 4x + 5$ を平方完成すると $2(x+1)^2 + q$ になります。$q$ はいくつですか?

答え

±√π

確認

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確認 3 / 3

$y = a(x-p)^2 + q$ で $a < 0$ のとき、放物線はどうなりますか?

左右に開く上に凸(頂点が最大)直線になる下に凸(頂点が最小)

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