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関数 = 対応のルール

「$y = f(x)$」という記号を見た瞬間に本を閉じた経験はありませんか。 関数の正体は記号ではなく、入力を入れると出力が返ってくる機械です。 数学のほとんど(そして機械学習のすべて)は、この機械の性質を調べる営みです。

触ってみる — 機械に数を入れる

スライダーで入力 $x$ を動かしてください。機械(2乗する)が出力 $y$ を返し、 その対応の全記録が曲線として浮かび上がります。

入力 x = 1.50→2乗する機械→出力 y = 2.25

入力 x1.50

グラフは関数の「顔」

1つの入力に1つの出力 — この対応を全部プロットしたものがグラフです。 つまりグラフを見れば、計算しなくても関数の性格(増える・減る・折り返す)が読めます。 「式を変形する」前に「顔を見る」。これがこのコース全体の流儀です。

二次関数 — 放物線を操る

高校数学最初の山、二次関数。式はこう書けます:

$$y = a(x - p)^2 + q$$

記号が3つもあって嫌になりますが、頂点をドラッグすれば意味は一瞬です。

a(開き)1.00

• $p, q$ は頂点の住所(ドラッグすると式のその部分だけが変わる)
• $a$ は開き具合(負にするとひっくり返る)

教科書の「平方完成」とは、$y = ax^2+bx+c$ をこの「住所が読める形」に 書き替える作業のことです。式変形の目的は、頂点の住所を知ることだったのです。

試してみよう

• $a$ を $0$ に近づける → 放物線が直線に寝ていく
• 頂点を $y$ 軸の上に置く → 式から $p$ が消える($p=0$)
• $a < 0$ で頂点を高い場所へ → 「最大値」が頂点になる理由が見える

理解チェック

$y = (x-3)^2 + 2$ の頂点はどこでしょうか?

答えを見る

$(3, 2)$ です。式の中の $-3$ と $+2$ がそのまま住所。 上の図で頂点を $(3, 2)$ にドラッグして、式が一致することを確かめてください。