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三角比を使う — 鈍角への拡張と余弦定理

まずは前章の振り返りから。

ウォームアップ — 第1章の振り返り

問1 / 1

頂点(赤い点)をドラッグして、放物線 y = (x−p)² + q の頂点を星印 (2, −1) に合わせてください。

y = (x − -1.00)² + 2.00

直角三角形の限界

前回の定義には弱点があります。直角三角形の中では、角度は $0°$〜$90°$ しか作れません。 $120°$ の $\cos$ は? — 三角形では答えられない。そこで定義を座標に引っ越します。

原点中心・半径1の円(単位円)の上の点を考えて:

$$\cos\theta = \text{点の } x \text{ 座標}, \qquad \sin\theta = \text{点の } y \text{ 座標}$$

と読み替えます。$90°$ までは前回の定義と完全に一致し、そして $90°$ を超えても 点は円の上を進み続けられる — 鈍角の三角比が自然に定義できました。 $\cos 120° = -0.5$ の「マイナス」は、点が $y$ 軸の左に出たという意味です。

円に乗せた瞬間に出る等式

単位円上の点は原点から距離1。ピタゴラスの定理で:

$$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$$

教科書の公式第1号は、「半径1の円の上にいる」という宣言にすぎません。

余弦定理 — ピタゴラスの一般化

直角でない三角形では、$c^2 = a^2 + b^2$ に補正項が付きます:

$$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$$

$C = 90°$ なら $\cos C = 0$ で補正が消え、ピタゴラスに戻ります。 この $-2ab\cos C$ という形、線形代数コースでは内積として再登場します (実は $|\vec{a}-\vec{b}|^2$ を展開しただけ)。「角度を掛け算で扱う」道具の原型がここにあります。

操作チャレンジ — 図で解く3問