三角関数 — 単位円を回すと波が生まれる

「サイン・コサインが何の役に立つのか」。この疑問の答えは1枚の図にあります。 回転を横に流すと、波になります。音も、電気も、季節も、心臓の鼓動も、 多くの繰り返し現象は円運動の影として説明でき、その影の名前が $\sin$ です。

触ってみる — 波の誕生の瞬間

単位円の赤い点をドラッグして、ぐるぐる回してください。 点の高さが右へ流れて、波が描かれていきます。何周でも回せます。逆回転も。

$\sin\theta$$\cos\theta$

$\theta$

現在の角度は 1.05 ラジアン、60.00 度です。単位円上の座標 (cos, sin) は (0.50, 0.87) です。現在表示している正弦の値は 0.87 です。

いま何が起きていたのか

• 円上の点の高さ($y$ 座標)が $\sin\theta$、横位置($x$ 座標)が $\cos\theta$。前章の座標定義そのままです
• 横軸は回した角度そのもの。1周($360°$)ごとに波が1つ完成する
• 逆に回せば負の角度。2周回れば $720°$。円で考えれば「一般角」は当たり前の拡張です

なぜラジアンを使うのか

図の $\theta$ はラジアン(弧度法)で表示されています。定義は 「半径1の円を、弧の長さで測った角度」。$360° = 2\pi$ です。

度数法でも困らないように見えますが、「角度」と「弧の長さ」が同じ数になるおかげで、 微積分コースで $\sin$ を微分するときの式が最も単純な形になります($(\sin x)' = \cos x$ は ラジアンでだけ成り立つ)。ラジアンが選ばれた背景には、この先の計算を楽にする狙いがあったと言われています。

試してみよう

• cos に切り替える → 同じ回転の横方向の影。波の形は同じで、始まる位置だけ違う
• ちょうど1周($2\pi \approx 6.28$)で波が1サイクルになります。これが「周期」の定義です
• 上半分をゆっくり、下半分を速く回す → 波の高さは角度だけで決まる(速さは無関係)

理解チェック

$\sin\theta$ が最大値 $1$ になるのは、単位円のどの位置でしょうか?

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真上($\theta = 90° = \pi/2$)です。高さが半径いっぱいの $1$ になる唯一の場所。 図で赤い点を真上に置くと、波もちょうど山の頂上を描きます。

もう1問: $\sin(\theta + 2\pi)$ は $\sin\theta$ と比べてどうなるでしょうか?

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等しくなります。$2\pi$ = 1周なので、単位円上の点は元の位置に戻ります。これが周期性です。「角度は1周したら同じ場所」という円の当たり前が、波の繰り返しの正体です。

式で確かめる

動かして掴んだ感覚を、式と言葉で確かめます。間違えても、ヒントと解説で戻れます。

確認 1 / 3

単位円を回して波を描くとき、波が1サイクル完成するのは角度が何度進んだときですか?

答え

±√π

度確認

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確認 2 / 3

$\sin\theta$ が最大値 $1$ をとるのは、単位円上のどの位置ですか?

真下($\theta = 270^\circ$)右($\theta = 0^\circ$)左($\theta = 180^\circ$)真上($\theta = 90^\circ = \pi/2$)

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確認 3 / 3

$\sin(\theta + 2\pi)$ は $\sin\theta$ と比べてどうなりますか?

2倍になる等しい$0$ になる符号が反転する

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