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三角関数 — 単位円を回すと波が生まれる

「サイン・コサインが何の役に立つのか」。この疑問の答えは1枚の図にあります。 回転を横に流すと、波になる。音も、電気も、季節も、心臓の鼓動も — 繰り返すものはすべて円運動の影であり、その影の名前が $\sin$ です。

触ってみる — 波の誕生の瞬間

単位円の赤い点をドラッグして、ぐるぐる回してください。 点の高さが右へ流れて、波が描かれていきます。何周でも回せます。逆回転も。

sinθcosθ

いま何が起きていたのか

• 円上の点の高さ($y$ 座標)が $\sin\theta$、横位置($x$ 座標)が $\cos\theta$ — 前章の座標定義そのまま
• 横軸は回した角度そのもの。1周($360°$)ごとに波が1つ完成する
• 逆に回せば負の角度。2周回れば $720°$ — 円で考えれば「一般角」は当たり前の拡張

なぜラジアンを使うのか

図の $\theta$ はラジアン(弧度法)で表示されています。定義は 「半径1の円を、弧の長さで測った角度」。$360° = 2\pi$ です。

度数法でも困らないように見えますが、「角度」と「弧の長さ」が同じ数になるおかげで、 微積分コースで $\sin$ を微分するときに式が劇的に単純になります($(\sin x)' = \cos x$ は ラジアンでだけ成り立つ)。先人がラジアンを選んだのは、未来の計算を楽にするためでした。

試してみよう

• cos に切り替える → 同じ回転の横方向の影。波の形は同じで、始まる位置だけ違う
• ちょうど1周($2\pi \approx 6.28$)で波が1サイクル — 「周期」の定義
• 上半分をゆっくり、下半分を速く回す → 波の高さは角度だけで決まる(速さは無関係)

理解チェック

$\sin\theta$ が最大値 $1$ になるのは、単位円のどの位置でしょうか?

答えを見る

真上($\theta = 90° = \pi/2$)です。高さが半径いっぱいの $1$ になる唯一の場所。 図で赤い点を真上に置くと、波もちょうど山の頂上を描きます。