三角関数を使う — 波の3つまみと加法定理

前章の振り返りから。単位円の感覚は手に残っていますか。

ウォームアップ — 第2章の振り返り

問1 / 1

問1・現在

リセット

単位円上の赤い点をドラッグして、$\cos\theta = -0.5$ になる鈍角の位置(上半分)を探してください。

$\cos\theta = 0.80$(目標 −0.50、上半分で)

波は3つのつまみで操れる

現実の波(音の大きさ・高さ・タイミング)は、式では3つの定数で書けます:

$$y = A\sin(\omega x + \varphi)$$

振幅 A1.00角振動数 ω1.00位相 φ0.00

• 振幅 $A$: 波の高さ(音なら音量)
• 角振動数 $\omega$: 波の詰まり具合。周期は $2\pi/\omega$(音なら高さ)
• 位相 $\varphi$: 波のスタート位置(タイミングのずれ)

3つのスライダーを触ってから式を見返すと、どの記号がどのつまみか、もう読めるはずです。

加法定理は「回転の足し算」

高校数学の暗記地獄で悪名高い加法定理:

$$\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$$

これは「$\alpha$ 回してから、さらに $\beta$ 回す」という回転の合成を成分で書いただけです。2倍角も半角も合成($a\sin\theta + b\cos\theta$)も、ぜんぶこの1本から機械的に出ます。覚えるのは「回転を続けて行う」という絵、1枚だけでいい。

この「回転を成分で書く」操作は、線形代数コース第3章では回転行列という名前で主役になります。行列の掛け算が加法定理そのものだと分かる瞬間は、このコースの続きで一番気持ちいい場面のひとつです。

微積分への予告

$\sin$ を微分すると $\cos$ になる(ラジアンの功績)。さらにテイラー展開という道具を使うと、$\sin$ が多項式の無限和で書けることまで分かります。波の解析(フーリエ)まで一直線です。三角関数は大学数学の主要道路です。

操作チャレンジ — 図で解く5問

式で確かめる

動かして掴んだ感覚を、式と言葉で確かめます。間違えても、ヒントと解説で戻れます。

確認 1 / 3

$y = 3\sin(2x + 1)$ の振幅 $A$ はいくつですか?

答え

±√π

確認

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確認 2 / 3

周期は $2\pi/\omega$ で決まります。$\omega$ を2倍にすると周期はどうなりますか?

半分になる4倍になる変わらない2倍になる

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確認 3 / 3

加法定理 $\sin(\alpha + \beta)$ の正しい展開はどれですか?

$\sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta$$\cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta$$\sin\alpha \sin\beta + \cos\alpha \cos\beta$$\sin\alpha \cos\beta - \cos\alpha \sin\beta$

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