三角方程式を単位円で解く

$\sin x = 0.5$ を解け、と言われて公式表を思い出そうとした人へ。三角方程式は暗記問題ではなく、円と線の交点を数える図形問題です。単位円と波はもう触ったので、その2枚を使って「解く」を再定義します。

ウォームアップ — 第3章の振り返り

問1 / 1

問1・現在

リセット

単位円の点をドラッグして、$\sin\theta = -1$ になる場所へ移動してください。

$\sin\theta = 0.00$(目標 −1.00)

触ってみる — 解は「交点」である

$\sin x = k$ の解とは、単位円上で高さが $k$ の場所のこと。水平線 $y = k$ を上下させて、交点(緑)の個数と位置がどう変わるか見てください。

k0.50

種明かし — 2つの解はいつも対称

$0° \le x < 360°$ の範囲で、$\sin x = k$($-1 < k < 1$)の解はいつも2個。$\theta$ を $\sin\theta = k$ の主値($\arcsin k$、$-90° \le \theta \le 90°$)とすると、一方の解は $180° - \theta$(この範囲の $\theta$ なら自動的に $90°$〜$270°$ に収まります)、もう一方は $\theta$ を $0° \le x < 360°$ に収めた角(たとえば $k$ が負で $\theta$ が負の値なら $\theta + 360°$)です。水平線と円の交点は $y$ 軸について対称だからです。

$$\sin x = k \iff x \equiv \theta,\ 180° - \theta \pmod{360°}$$

$\cos x = k$ なら縦線との交点なので、対称の向きが変わって $x = \pm\theta$($x$ 軸対称)。「どっちが $180°-\theta$ でどっちが $-\theta$ か」は覚えなくても、線を引く向き(水平か垂直か)を思い出せば図が答えてくれます。

一般解 — 円は何周でも回れる

円を1周($360°$)回っても同じ場所に戻るので、解は無限にあります:

$$x = \theta + 360°n,\quad (180° - \theta) + 360°n$$

第3章の看板図(単位円を回すと波が生まれる)を思い出してください。波が周期的に同じ高さを繰り返すことと、円を何周もできることは同じ現象です。

大学への接続

「方程式の解を図形の交点として数える」視点は、微積パート(第10章〜)でグラフの交点として方程式を捉え直すときや、線形代数の連立方程式(直線の交点)で主役になります。

操作チャレンジ — 図で解く3問

式で確かめる

動かして掴んだ感覚を、式と言葉で確かめます。間違えても、ヒントと解説で戻れます。

確認 1 / 3

$0^\circ \le x < 360^\circ$ の範囲で、$\sin x = k$($-1 < k < 1$)の解は何個ありますか?

2個無数にある1個3個

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確認 2 / 3

$\sin x = k$ の解の一つを主値 $\theta$($\arcsin k$、$-90^\circ \le \theta \le 90^\circ$)とすると、$0^\circ \le x < 360^\circ$ のもう一つの解は?

$-\theta$$180^\circ - \theta$$90^\circ - \theta$$\theta + 90^\circ$

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確認 3 / 3

$0^\circ \le x < 360^\circ$ で $\sin x = 0.5$ を解くと、解の一つは $30^\circ$。もう一つは何度ですか?

答え

±√π

度確認

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