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三角方程式を単位円で解く

$\sin x = 0.5$ を解け — と言われて公式表を思い出そうとした人へ。 三角方程式は暗記問題ではなく、円と線の交点を数える図形問題です。 単位円と波はもう触ったので、その2枚を使って「解く」を再定義します。

ウォームアップ — 第3章の振り返り

問1 / 1

単位円の点をドラッグして、sinθ = −1 になる場所へ移動してください。

sinθ = 0.00(目標 −1.00)

触ってみる — 解は「交点」である

$\sin x = k$ の解とは、単位円上で高さが $k$ の場所のこと。 水平線 $y = k$ を上下させて、交点(緑)の個数と位置がどう変わるか見てください。

k0.50

種明かし — 2つの解はいつも対称

$0° \le x < 360°$ の範囲で、$\sin x = k$($-1 < k < 1$)の解はいつも2個。 しかも片方が $\theta$ なら、もう片方は必ず $180° - \theta$ — 水平線と円の交点は $y$ 軸について対称だからです。

$$\sin x = k \iff x = \theta,\ 180° - \theta$$

$\cos x = k$ なら縦線との交点なので、対称の向きが変わって $x = \pm\theta$($x$ 軸対称)。 「どっちが $180°-\theta$ でどっちが $-\theta$ か」は覚えなくても、 線を引く向き(水平か垂直か)を思い出せば図が答えてくれます。

一般解 — 円は何周でも回れる

円を1周($360°$)回っても同じ場所に戻るので、解は無限にあります:

$$x = \theta + 360°n,\quad (180° - \theta) + 360°n$$

第3章の看板図(単位円を回すと波が生まれる)を思い出してください。 波が周期的に同じ高さを繰り返すことと、円を何周もできることは同じ現象です。

大学への接続

「方程式の解を図形の交点として数える」視点は、微積コースの方程式の近似解法や、 線形代数の連立方程式(直線の交点)で主役になります。

操作チャレンジ — 図で解く3問