指数関数 — 倍々の世界を体感する

「紙を42回折ると月に届く」と聞いて、信じられますか。 指数関数 $y = a^x$ は、人間の直感が最も外れる関数です。 だからこそ、式より先に体感から入ります。

触ってみる — 底が性格を決める

底 $a$ のスライダーを動かしてください。

底 a2.00

• $a > 1$: 爆発。最初は直線(緑)に負けていても、必ず追い抜く
• $a = 1$: 増えも減りもしない直線(爆発と減衰の境目)
• $0 < a < 1$: 減衰。半分、そのまた半分…と0に近づく(0にはならない)

折り紙で月へ

厚さ0.1mmの紙を折るたび、厚さは2倍になります。スライダーでどうぞ。

折る回数 n10回

厚さ = $0.1\text{mm} \times 2^{10}$ = 102.40 mm

• ✓ 1mm(ほぼ紙のまま)
• ・ 人の背丈
• ・ スカイツリー
• ・ 富士山
• ・ エベレスト
• ・ 宇宙との境界(カーマン・ライン)
• ・ 月までの距離

前半20回はほぼ何も起きません。そして後半、1回折るごとに数千km単位で跳ねます。 「しばらく平気、そして突然手遅れ」。感染症の初期対応が難しい理由、 複利の借金が怖い理由は、この曲線の形そのものです。

見方を変える — 曲線を直線にする

縦軸だけを対数目盛りにすると、指数関数 $y = a^x$ は直線として読めます。 底 $a$ を変えると、その直線の傾きだけが変わります。

底を選ぶ$a=1.25$$a=1.5$$a=2$$a=3$

通常目盛り$y=2^x$

片対数目盛り縦軸 $\log_{10}y$

種明かし — 指数法則は「回数の足し算」

$$a^m \times a^n = a^{m+n}$$

「$m$ 回掛けてから $n$ 回掛ける = 合計 $m+n$ 回掛ける」。それだけです。 では $a^0$ や $a^{-1}$ は?「0回掛ける」は意味不明に見えますが、 法則の方を守ると答えが決まります: $a^1 \times a^{-1} = a^0$ が成り立つには $a^0 = 1$、$a^{-1} = 1/a$ しかない。指数の拡張は暗記でなく、法則の帰結です。

試してみよう

• $a$ をぴったり $1$ に → 曲線が直線に変わる境目を目撃する
• $a = 0.5$ → 「半減」の curve。次章の半減期の主役
• 折り紙を10回 → まだ10cm。20回 → 100m。同じ「10回」の重みが違う

理解チェック

$2^{10}$ はおよそいくつでしょうか(電卓なしで)?

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$1024$、およそ1000です。「2の10乗 ≈ 10の3乗」はエンジニアの常識 (かつて 1KB = 1024バイトと呼ばれた由来。厳密には 1024バイト = 1KiB で、SI では 1KB = 1000バイトです)。倍々10回で3桁増える、と覚えておくと桁の見積もりに使えます。

もう1問: $2^{10} \approx 1000$ を使うと、$2^{20}$ はおよそいくつと見積もれるでしょうか?

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約100万です。$2^{20} = (2^{10})^2 \approx 1000^2 = 1{,}000{,}000$。指数法則 $(a^m)^n = a^{mn}$ を「桁の見積もり」に使うのは実務でも頻出です(正確には1,048,576)。

式で確かめる

動かして掴んだ感覚を、式と言葉で確かめます。間違えても、ヒントと解説で戻れます。

確認 1 / 3

指数法則を使うと、$2^3 \times 2^4$ はいくつですか?

$4^7$$2^1 = 2$$2^{12} = 4096$$2^7 = 128$

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確認 2 / 3

$2^{10}$ はいくつですか?

答え

±√π

確認

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確認 3 / 3

指数法則を守るように $a^{-1}$ を決めると、$a^{-1}$ はどれになりますか?

$a$$1/a$$0$$-a$

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