指数を使う — 半減期と e の顔見せ

前章の振り返りから。

ウォームアップ — 第3章の振り返り

問1 / 1

問1・現在

リセット

単位円の点をドラッグして、$\sin\theta = -1$ になる場所へ移動してください。

$\sin\theta = 0.00$(目標 −1.00)

減る方の指数 — 半減期

放射性物質は「毎年◯グラム減る」のではなく「一定期間で半分になる」形で減ります。 その期間が半減期 $T$ です。

半減期 T8年

$$\text{量} = 100 \times \left(\frac{1}{2}\right)^{t/T}$$

式の読み方は「$t$ 年のあいだに半減が $t/T$ 回起きる」。 指数の世界では、時間を「年数」でなく「半減の回数」で数えるのがコツです。 炭素14による年代測定(半減期5730年)も、体内で一定の割合で分解される薬の血中濃度も、同じ式で近似できます。

複利 — 分割するほど増える?

年利100%で1年預けると2倍。では半年ごとに50%ずつ複利にすると?

$$\left(1 + \frac{1}{2}\right)^2 = 2.25\text{倍}$$

もっと細かく、毎月・毎日・毎秒…と分割を増やすと、倍率はどこまでも増えそうに見えますが、 2.718… という数に頭打ちします。

$$\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \to e = 2.71828\ldots$$

この $e$(自然対数の底)は、微積分コースで指数関数の王様になります ($e^x$ は $f(0)=1$ かつ微分しても形が変わらない($f'=f$)関数。一般に $f'=f$ を満たす関数は $Ce^x$ の形になり、$e^x$ はその中で原点の値がちょうど $1$ のものです)。今日は顔見せだけ。 「連続複利の行き先」とだけ覚えて通過してください。

大学への接続

指数的な増減は統計コースの指数分布・成長モデルの土台、 $e$ は微積分コースを通じて主役です(指数関数 $e^x$ は微分しても形が変わらない特別な関数)。「倍々を式で扱える」ことが、そのまま入場券になります。

操作チャレンジ — 図で解く5問

式で確かめる

動かして掴んだ感覚を、式と言葉で確かめます。間違えても、ヒントと解説で戻れます。

確認 1 / 3

半減期 $T = 10$年、最初 100g の放射性物質は、30年後に何 g 残りますか?

答え

±√π

g確認

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確認 2 / 3

年利100%を半年ごとに50%ずつ複利にすると、1年で元本の何倍になりますか?

答え

±√π

倍確認

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確認 3 / 3

分割を細かくしていくと、$(1 + 1/n)^n$ は $n \to \infty$ でどんな数に近づきますか?

$e = 2.718\ldots$どこまでも増え続ける3ちょうど2

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