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対数 — 桁数のものさし

$\log$ という記号は、高校数学でもっとも「なぜ存在するのか分からないまま 計算させられる」道具です。答えを先に言います: 対数は「桁」を測るものさしです。アリと地球を同じグラフに描くための。

触ってみる — 目盛りを架け替える

アリ(5mm)から地球(直径1万km超)までを1本の軸に並べます。 目盛りを切り替えてください。

通常目盛り対数目盛り

通常目盛りでは地球以外が左端で団子になります。対数目盛りに切り替えると、 全員が等間隔に並ぶ — 1目盛り進むごとに10倍、という目盛りだからです。

種明かし — 対数は指数の逆読み

$$\log_a x = \text{「} a \text{ を何乗すると } x \text{ になるか」}$$

$\log_2 8 = 3$ は「2を3乗すると8」の逆読み。それだけです。 とくに底が10の常用対数 $\log_{10} x$ は「$x$ はおよそ何桁か」を返します: $\log_{10} 3000 \approx 3.48$ — 3000は「3.5桁級」の数。

地震のマグニチュード、音のデシベル、水のpH。 桁で変わる量を人間が扱うとき、世界はいつも対数目盛りを選んできました。

指数のグラフを鏡で折り返す

対数関数 $y = \log_a x$ のグラフは、新しく覚える必要がありません。 指数関数 $y = a^x$ のグラフを $y = x$ の直線を鏡にして折り返すだけです。 これは微積分コースで使っている逆関数の図そのもの — 点をドラッグして、 2つの曲線が鏡写しに連動するのを確かめてください。

「入力と出力を入れ替えた関数」= 逆関数。指数と対数はその代表ペアです。

試してみよう

• 対数目盛りで、人(1.7m)とクジラ(30m)の間隔と、クジラと富士山の間隔を見比べる — ほぼ同じ(どちらも約1.5桁差)
• $\log_{10} 1 = ?$ — 10を0乗すると1。だから対数目盛りの「1」が原点になる

理解チェック

$\log_{10} 1000000$(100万)はいくつでしょうか?

答えを見る

$6$ です。100万は $10^6$、つまり7桁の数。 「0の個数を数える」のが常用対数の一番素朴な姿です。