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対数を使う — 掛け算を足し算に変える

前章の振り返りから。

ウォームアップ — 第4章の振り返り

問1 / 1

底 a のスライダーで、指数関数 y = a^x を星印 (2, 9) に通してください。

底 a1.50

y = 1.50^x を星印 (2, 9) に通す

対数法則 — 電卓以前の世界を支えた式

$$\log(MN) = \log M + \log N$$

掛け算が、足し算になる。 指数法則 $a^m a^n = a^{m+n}$ の「回数の足し算」を 逆から読んだだけですが、この性質は電卓のない時代に天文学者の寿命を延ばした (計算尺の原理)と言われるほど強力でした。累乗はもっと劇的です:

$$\log M^k = k \log M$$

累乗が、掛け算になる。 巨大な計算ほど、対数の世界に持ち込むと軽くなります。 統計学で「尤度の対数(対数尤度)」を取るのも、確率の掛け算の連鎖を 足し算に変えるためです。

片対数グラフ — 指数増加の検出器

「このデータ、指数的に増えてる?」を見分ける実務の道具が片対数グラフです。 縦軸を対数目盛りにして、切り替えてみてください。

通常の縦軸縦軸を対数に

指数増加 $y = 3 \cdot 2^x$ の点列が、対数軸では直線に乗ります。 $\log_{10} y = \log_{10} 3 + x\log_{10} 2$ — 対数を取ると1次関数になるからです。 感染症のニュースで見た「対数グラフ」、株価の長期チャート、 機械学習の学習曲線。指数的な現象の解析は、まず対数を取るところから始まります。

大学への接続

• 統計コース: 対数変換・対数尤度(第8章の最尤法)でこの道具が本格稼働します
• 微積分コース: $\ln x$($e$ を底とする対数)の微分が $1/x$ になる美しさは第4章で

操作チャレンジ — 図で解く3問