対数を使う — 掛け算を足し算に変える

前章の振り返りから。

ウォームアップ — 第4章の振り返り

問1 / 1

問1・現在

リセット

底 a のスライダーで、指数関数 $y = a^x$ を星印 (2, 9) に通してください。

底 a1.50

$y = 1.50^x$ を星印 (2, 9) に通す

対数法則 — 電卓以前の世界を支えた式

$$\log(MN) = \log M + \log N$$

掛け算が、足し算になる。指数法則 $a^m a^n = a^{m+n}$ の「回数の足し算」を逆から読んだだけですが、この性質は電卓のない時代に天文学者の寿命を延ばした(計算尺の原理)と言われるほど強力でした。累乗では効果がさらに大きくなります:

$$\log M^k = k \log M$$

累乗が、掛け算になる。巨大な計算ほど、対数の世界に持ち込むと軽くなります。統計学で「尤度の対数(対数尤度)」を取るのも、確率の掛け算の連鎖を足し算に変えるためです。

片対数グラフ — 指数増加の検出器

「このデータ、指数的に増えてる?」を見分ける実務の道具が片対数グラフです。縦軸を対数目盛りにして、切り替えてみてください。

通常の縦軸縦軸を対数に

指数増加 $y = 3 \cdot 2^x$ の点列が、対数軸では直線に乗ります。$\log_{10} y = \log_{10} 3 + x\log_{10} 2$ となり、対数を取ると1次関数になるからです。感染症のニュースで見た「対数グラフ」、株価の長期チャート、機械学習の学習曲線。指数的な現象の解析は、まず対数を取るところから始まります。

大学への接続

• 統計コース: 対数変換・対数尤度(第8章の最尤法)でこの道具が本格稼働します
• 微積分コース: $\ln x$($e$ を底とする対数)の微分が $1/x$ になる関係は、微積分の基本の道具としてこの先ずっと効きます

操作チャレンジ — 図で解く5問

式で確かめる

動かして掴んだ感覚を、式と言葉で確かめます。間違えても、ヒントと解説で戻れます。

確認 1 / 3

対数法則によると、$\log(MN)$ は次のどれと等しいですか?

$\log M + \log N$$\log M \times \log N$$\log M - \log N$$\log(M + N)$

ヒントを見る

確認 2 / 3

対数法則を使うと、$\log_2 4 + \log_2 8$ はいくつですか?

答え

±√π

確認

ヒントを見る

確認 3 / 3

累乗の法則 $\log M^k = k \log M$ を使うと、$\log_2 (8^2)$ はいくつですか?

答え

±√π

確認

ヒントを見る