漸化式 — クモの巣図で収束を見る

第6章の最初のレッスンで、漸化式は「1手先の規則」だと触れました。 このレッスンでは、その規則を何十手も繰り返すと数列がどこへ行くのかを 1枚の図(クモの巣図、cobweb plot)で見ます。

ウォームアップ — 第6章の振り返り

問1 / 1

問1・現在

リセット

初項3の等差数列があります。公差dを動かして、第5項をちょうど19にしてください。

3.04.05.06.07.0

公差 d1

第5項 $= 3 + 4d = 7.0$(目標 19)

触ってみる — 規則の繰り返しが階段になる

漸化式 $a_{n+1} = r \cdot a_n + 1$ を図にします。読み方は2手の繰り返しです:

1. 縦に動く: いまの値 $a_n$ から直線 $y = rx + 1$ へ → 高さが次の値 $a_{n+1}$
2. 横に動く: $y = x$ の線へ → その高さを「次の入力」に置き直す

$r$ を動かして、赤い階段の形がどう変わるか見てください。

r0.60

種明かし — 行き先は2本の線の交点

$|r| < 1$ のとき、階段はどこから始めても2本の直線の交点に吸い込まれます。 この交点(不動点)は「入れても値が変わらない場所」つまり

$$x = rx + 1 \iff x = \frac{1}{1-r}$$

• $0 < r < 1$: 片側からするする近づく
• $-1 < r < 0$: 行き過ぎては戻るを繰り返す渦巻き(振動収束)
• $r = -1$: 収束も発散もせず、不動点をはさんで2つの値を交互に繰り返す(初項がちょうど不動点でない限り)
• $|r| > 1$: 初項がちょうど不動点でない限り、階段が外へ広がって発散(初項が不動点そのものなら、そこにとどまり続ける)

規則は1行なのに、繰り返すと「収束・振動・発散」という運命が生まれます。 これが漸化式の面白さです。

大学への接続

この「近づいていく先」を第11章の極限で扱い、さらに厳密に言い切る言葉(ε-δ)は大学微積コースにあります。 また、勾配降下法(大学微積コース・最適化の章)は「損失が減る方向へ1手進む」を 繰り返す漸化式です。クモの巣の収束・発散の感覚がそのまま効きます。

操作チャレンジ — 図で解く3問

式で確かめる

動かして掴んだ感覚を、式と言葉で確かめます。間違えても、ヒントと解説で戻れます。

確認 1 / 3

漸化式 $a_{n+1} = r \cdot a_n + 1$ で $r = 1/2$ のとき、階段が吸い込まれる不動点 $x = 1/(1-r)$ はいくつですか?

答え

±√π

確認

ヒントを見る

確認 2 / 3

この漸化式で $-1 < r < 0$ のとき、数列はどのように不動点へ向かいますか?

動かず一定のまま外へ広がって発散する行き過ぎては戻る振動をしながら近づく片側からするする近づく

ヒントを見る

確認 3 / 3

$|r| > 1$ のとき(初項は不動点でないとする)、クモの巣の階段はどうなりますか?

外へ広がって発散する必ず 0 になる不動点に収束する一定値で振動し続ける

ヒントを見る