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漸化式 — クモの巣図で収束を見る

第6章の最初のレッスンで、漸化式は「1手先の規則」だと触れました。 このレッスンでは、その規則を何十手も繰り返すと数列がどこへ行くのかを 1枚の図 — クモの巣図(cobweb plot)— で見ます。

ウォームアップ — 第6章の振り返り

問1 / 1

初項3の等差数列があります。公差dを動かして、第5項をちょうど19にしてください。

3.04.05.06.07.0

公差 d1

第5項 = 3 + 4d = 7.0(目標 19)

触ってみる — 規則の繰り返しが階段になる

漸化式 $a_{n+1} = r \cdot a_n + 1$ を図にします。読み方は2手の繰り返しです:

1. 縦に動く: いまの値 $a_n$ から直線 $y = rx + 1$ へ → 高さが次の値 $a_{n+1}$
2. 横に動く: $y = x$ の線へ → その高さを「次の入力」に置き直す

$r$ を動かして、赤い階段の形がどう変わるか見てください。

r0.60

種明かし — 行き先は2本の線の交点

$|r| < 1$ のとき、階段はどこから始めても2本の直線の交点に吸い込まれます。 この交点(不動点)は「入れても値が変わらない場所」つまり

$$x = rx + 1 \iff x = \frac{1}{1-r}$$

• $0 < r < 1$: 片側からするする近づく
• $-1 < r < 0$: 行き過ぎては戻るを繰り返す渦巻き(振動収束)
• $|r| > 1$: 階段が外へ広がって発散

規則は1行なのに、繰り返すと「収束・振動・発散」という運命が生まれる — これが漸化式の面白さです。

大学への接続

この「近づいていく先」を厳密に扱うのが、微積コース第2章の極限です。 また、勾配降下法(微積コース第11章)は「損失が減る方向へ1手進む」を 繰り返す漸化式そのもの — クモの巣の収束・発散の感覚がそのまま効きます。

操作チャレンジ — 図で解く3問