Σを使う — 和を積み上げて見る

数列が書けたら、次は足し上げです。統計の平均も期待値も、機械学習の損失関数も、 中身はぜんぶ「たくさんの項の和」、つまりΣ(シグマ)です。まずは振り返りから。

ウォームアップ — 第5章の振り返り

問1 / 1

問1・現在

リセット

$\log_2x = 5$ になる x をスライダーで見つけてください。

x8

$\log_2 8 = 3.00$(目標 5)

Σは「forループ」である

$$\sum_{k=1}^{n} k = 1 + 2 + \cdots + n$$

Σの記号は「$k$ を 1 から $n$ まで動かしながら足せ」という命令です。 プログラマーなら for (k = 1; k <= n; k++) sum += k と読めば、それで正解。 記号アレルギーの正体は、実はただのループ構文でした。

触ってみる — 積み上がる和

項数 n5

項数を増やすと和はどんどん伸びますが、その値は常に公式と一致します:

$$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$$

ガウス少年の逸話で有名な式です。1 から 100 の和は、両端から ペアを作る(1+100, 2+99, …)と 101 が 50 組になります。これが公式の中身です。

無限に足しても、有限に収まる

公比 $|r| < 1$ の等比数列は、無限に足しても値が収束します。

項数 n3

$$\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \cdots = 1$$

正方形が埋まっていく様子が、その直感を与えます。一般には $\sum_{k=0}^{\infty} r^k = \dfrac{1}{1-r}$($|r|<1$)。 「無限の足し算が有限になる」感覚は、大学微積コース(級数の章)の入口です。

操作チャレンジ — 図で解く5問

式で確かめる

動かして掴んだ感覚を、式と言葉で確かめます。間違えても、ヒントと解説で戻れます。

確認 1 / 3

公式 $\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$ を使って、1 + 2 + … + 10 を求めるといくつですか?

答え

±√π

確認

ヒントを見る

確認 2 / 3

同じ公式で、1 から 100 までの和 1 + 2 + … + 100 はいくつですか?

答え

±√π

確認

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確認 3 / 3

無限等比級数の公式 $\sum_{k=0}^{\infty} r^k = \frac{1}{1-r}$ を使うと、$1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \cdots$ はいくつに収束しますか?

答え

±√π

確認

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