数列 — 規則を式にする

3, 7, 11, 15, … と続く数の列を見たとき、頭の中では「4ずつ増えている」と 規則を読み取っています。数列の学習とは、この読み取った規則を式に書き下す練習です。 そして式にできれば、第100項でも一瞬で分かります。

触ってみる — 規則が列を作る

スライダーで規則(公差・公比)を動かしてください。10個の項が一斉に変わります。

等差(+d ずつ)等比(×r ずつ)

公差 d2

• 等差数列: 一定量 $d$ を足し続ける。まっすぐ増える(棒の先端が直線に並ぶ)
• 等比数列: 一定倍率 $r$ を掛け続ける。$r > 1$ では急激に伸びる(指数関数の離散版)

種明かし — 一般項

第 $n$ 項を $n$ の式で表したものが一般項です。

$$\text{等差}: a_n = a + (n-1)d \qquad \text{等比}: a_n = a \cdot r^{\,n-1}$$

「初項から規則を $n-1$ 回適用する」をそのまま式にしただけです。 等比の一般項に $r^{n-1}$ が現れるのは、第4章で触った指数関数の再登場です。 等比数列は指数関数の飛び石なのです。

漸化式 — 1手先の規則

規則を「隣どうしの関係」で書く流儀もあります。

$$a_{n+1} = a_n + d$$

プログラミングの for ループで「前の値から次を作る」のと同じ発想です。 初項と1手先の規則さえ決まれば、列全体が決まります。この見方は、 統計コースのマルコフ連鎖(メトロポリス法)まで一直線につながります。

理解チェック

等比数列 2, 6, 18, 54, … の一般項は?

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初項 $a = 2$、公比 $r = 3$ なので $a_n = 2 \cdot 3^{\,n-1}$。 「2から始めて3倍を $n-1$ 回」と読めれば、式は暗記でなく描写になります。

もう1問: 等比数列 3, 6, 12, 24, … の第6項はいくつでしょうか?

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96 です。一般項は $3\cdot2^{n-1}$、第6項 $= 3\cdot2^5 = 96$。「初項に公比を $n-1$ 回掛ける」のは、等差の「足す」を「掛ける」に替えただけです。

式で確かめる

動かして掴んだ感覚を、式と言葉で確かめます。間違えても、ヒントと解説で戻れます。

確認 1 / 3

等差数列 3, 7, 11, 15, … の第10項はいくつですか?

答え

±√π

確認

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確認 2 / 3

等比数列 2, 6, 18, 54, … の第5項はいくつですか?

答え

±√π

確認

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確認 3 / 3

等比数列 3, 6, 12, 24, … の一般項はどれですか?

$3 \cdot 2^{n-1}$$3 \cdot 2^n$$2 \cdot 3^{n-1}$$3 + 2(n-1)$

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