数え上げの原則

確率の計算は、突き詰めると「数える」ことです。 そして数え上げには、たった2つの原則しかありません。

• 和の法則: 「AまたはB」(同時に起きない)→ 足す
• 積の法則: 「Aのそれぞれに対してB」→ 掛ける

シャツ3種類とズボン4種類なら、コーディネートは $3 \times 4 = 12$ 通り。 「それぞれに対して」と読めたら掛け算です。これだけで大半の場合の数は数えられます。

同じ積の法則を、枝が増えていく樹形図として見ると、最後に残る葉の数がそのまま総数になります。 枝の本数を動かして、$a \times b$ が「各枝から同じだけ分かれる」ことを確かめます。

1段目 $3$ 通り$\times$2段目 $4$ 通り合計 $12$ 通り

1段目の枝3通り2段目の枝4通り

並べるか、選ぶか

• 順列 $_n\mathrm{P}_r$: $n$ 個から $r$ 個を並べる(順序あり)
• 組合せ $_n\mathrm{C}_r$: $n$ 個から $r$ 個を選ぶ(順序なし)

$$_n\mathrm{P}_r = n(n-1)\cdots(n-r+1) \qquad _n\mathrm{C}_r = \frac{_n\mathrm{P}_r}{r!}$$

組合せは「並べてから、並び順のダブり $r!$ で割る」という考え方です。 公式の分母は「気にしない違いを割って消す」操作です。

触ってみる — パスカルの三角形

組合せの数 $_n\mathrm{C}_r$ を三角形に並べると、美しい規則が現れます。 マスをタップしてみてください。

段数6

どのマスもすぐ上の2つの和になっています:

$$_n\mathrm{C}_r = {}_{n-1}\mathrm{C}_{r-1} + {}_{n-1}\mathrm{C}_r$$

理由は「$n$ 個目を選ぶ場合(左上)と選ばない場合(右上)に分かれる」から。 これは碁盤の目の道順の数え上げと同じ構造です。

理解チェック

5人から委員2人を選ぶ方法は何通り?(委員長・副委員長と区別する場合は?)

答えを見る

区別しない「選ぶ」なら $_5\mathrm{C}_2 = 10$ 通り。 役職で区別して「並べる」なら $_5\mathrm{P}_2 = 20$ 通り。 同じ状況でも「順序を気にするか」で数が変わります。ここが分かれ目です。

もう1問: 10人から3人の委員を選ぶ(役職の区別なし)。順列 P と組合せ C のどちらで、値はいくつでしょうか?

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組合せ C(10,3) = 120 です。役職の区別がない = 並び順を数えない、なので P(10,3)=720 を 3! = 6 で割ります。「区別があるか?」が P と C の分かれ目です。

式で確かめる

動かして掴んだ感覚を、式と言葉で確かめます。間違えても、ヒントと解説で戻れます。

確認 1 / 3

シャツ3種類とズボン4種類の組合せは全部で何通りですか?

答え

±√π

確認

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確認 2 / 3

5人から委員2人を選ぶ(順序は区別しない)方法は何通りですか?

答え

±√π

確認

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確認 3 / 3

10人から3人の委員を選ぶ(役職の区別なし)方法は何通りですか?

答え

±√π

確認

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