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極限と連続

$\lim_{x \to 2} f(x) = 4$ ——この記号の読み方を暗記した人は多いはず。 でも極限の本当の意味は「その点に着く前に、値がどこへ向かっているか」です。 着いた先ではなく、向かっている先。この違いを手で確かめましょう。

触ってみる

関数 $f(x) = \dfrac{x^2 - 4}{x - 2}$ のグラフです。赤い点を左右にドラッグして、$x = 2$ にじわじわ近づけてください。

$x = 2$ を代入すると $\frac{0}{0}$ になるので、$f(2)$ は存在しません(グラフの白抜きの穴)。 それでも $x$ を 2 に近づけると、$f(x)$ は 4 に向かって進みます。これが

$$\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2} = 4$$

の意味です。その点で定義されているかどうかと、極限があるかどうかは別の話——これが極限のいちばん大事な感覚です。

左右で行き先が違うと?

次は途中で段差がある関数です。同じように赤い点をドラッグして、$x = 1$ に左から近づいた場合と右から近づいた場合を比べてください。

左からは 1.5 に、右からは 3 に向かう——行き先が一致しないので、この点での極限は「存在しない」といいます。 そして、グラフがこの点で切れている(=ペンを離さないと描けない)状態が不連続です。裏返すと:

$$\lim_{x \to a} f(x) = f(a) \quad \text{が成り立つとき、} f \text{ は } x = a \text{ で連続}$$

「向かう先」と「実際の値」が一致している——連続とはそれだけのことです。

試してみよう

• 1つ目の図で、穴のぎりぎりまで近づいてみてください。$x = 1.999$ なら $f(x) = 3.999$。どこまで行っても 4 には「触れない」のに、行き先は 4 に確定している感覚を掴んでください
• 2つ目の図で、段差の上をまたいで往復してみてください。「左極限」と「右極限」という言葉が体感に変わります

理解チェック

$f(x) = \dfrac{x^2 - 9}{x - 3}$ について、$\lim_{x \to 3} f(x)$ は存在するでしょうか?

答えを見る

存在します。$x \neq 3$ では $f(x) = \dfrac{(x-3)(x+3)}{x-3} = x + 3$ なので、$x \to 3$ で $f(x) \to 6$。 $f(3)$ 自体は定義されていませんが、極限は 6 です。1つ目の図とまったく同じ構造です。

もっと厳密に(発展): 「いくらでも近づく」を数式で言い切るのが ε-δ 論法です。本コースでは発展章で扱います。まずはこのレッスンの「向かう先」の感覚があれば十分です。