極限と連続

$\lim_{x \to 2} f(x) = 4$。この記号の読み方を暗記した人は多いはず。 でも極限の本当の意味は「その点に着く前に、値がどこへ向かっているか」です。 着いた先ではなく、向かっている先。この違いを手で確かめましょう。

触ってみる

関数 $f(x) = \dfrac{x^2 - 4}{x - 2}$ のグラフです。赤い点を左右にドラッグして、$x = 2$ にじわじわ近づけてください。

点xの値

$x$

穴あき関数です。xは0.500、関数の値は2.500です。xは2の左側から近づいており、関数の値は4に近づいています。

$x = 2$ を代入すると $\frac{0}{0}$ になるので、$f(2)$ は存在しません(グラフの白抜きの穴)。 それでも $x$ を 2 に近づけると、$f(x)$ は 4 に向かって進みます。これが

$$\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2} = 4$$

の意味です。その点で定義されているかどうかと、極限があるかどうかは別の話です。これが極限のいちばん大事な感覚です。

左右で行き先が違うと?

次は途中で段差がある関数です。同じように赤い点をドラッグして、$x = 1$ に左から近づいた場合と右から近づいた場合を比べてください。

点xの値

$x$

跳びのある関数です。xは-0.500、関数の値は0.000です。xは1の左側から近づいており、関数の値は1.5に近づいています。左右で近づく先が異なるため、極限は存在しません。

左からは 1.5 に、右からは 3 に向かいます。行き先が一致しないので、この点での極限は「存在しない」といいます。 そして、グラフがこの点で切れている(=ペンを離さないと描けない)状態が不連続です。裏返すと:

$$\lim_{x \to a} f(x) = f(a) \quad \text{が成り立つとき、} f \text{ は } x = a \text{ で連続}$$

「向かう先」と「実際の値」が一致しています。連続とはそれだけのことです。

試してみよう

• 1つ目の図で、穴のぎりぎりまで近づいてみてください。$x = 1.999$ なら $f(x) = 3.999$。どこまで行っても 4 には「触れない」のに、行き先は 4 に確定している感覚を掴んでください
• 2つ目の図で、段差の上をまたいで往復してみてください。「左極限」と「右極限」という言葉が体感に変わります

理解チェック

$f(x) = \dfrac{x^2 - 9}{x - 3}$ について、$\lim_{x \to 3} f(x)$ は存在するでしょうか?

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存在します。$x \neq 3$ では $f(x) = \dfrac{(x-3)(x+3)}{x-3} = x + 3$ なので、$x \to 3$ で $f(x) \to 6$。 $f(3)$ 自体は定義されていませんが、極限は 6 です。1つ目の図とまったく同じ構造です。

もう1問: $x \to \infty$ のとき $(2x + 1)/x$ はどこへ向かうでしょうか?

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2 に向かいます。(2x+1)/x = 2 + 1/x で、1/x → 0。「無限大/無限大」も、形を整理すれば行き先が見えます。

もっと厳密に(発展): 「いくらでも近づく」を数式で言い切るのが ε-δ 論法です。大学微積コースの第1章で扱います。まずはこのレッスンの「向かう先」の感覚があれば十分です。

式で確かめる

動かして掴んだ感覚を、式と言葉で確かめます。間違えても、ヒントと解説で戻れます。

確認 1 / 3

$\lim_{x\to 3} \dfrac{x^2 - 9}{x - 3}$ の値はいくつですか?

答え

±√π

確認

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確認 2 / 3

$x \to \infty$ のとき $(2x + 1)/x$ はどの値へ向かいますか?

答え

±√π

確認

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確認 3 / 3

関数 $f$ が $x = a$ で「連続」であるための条件はどれですか?

$\lim_{x\to a} f(x) = f(a)$左極限が右極限より大きい$f(a)$ が定義されていればよい極限が存在すればよい

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