極限を使う — 計算法則と不定形

ウォームアップ — 第10章の振り返り

問1 / 1

問1・現在

リセット

スライダーで青い曲線を、緑の点線 $y = \sin 2x - 1$ にぴったり重ねてください。

a1.00b0.00

前のレッスンで「極限 = 向かう先」の感覚を作りました。今日はそれを計算に変えます。ほとんどの極限は代入で終わりますが、本当に面白いのは代入が失敗する $\frac{0}{0}$、不定形です。

計算法則 — 極限は四則演算と仲がいい

$\lim_{x \to a} f(x) = L$、$\lim_{x \to a} g(x) = M$ のとき:

$$\lim (f \pm g) = L \pm M, \quad \lim (f \cdot g) = LM, \quad \lim \frac{f}{g} = \frac{L}{M} \; (M \neq 0)$$

つまり連続な関数なら代入するだけです。$\lim_{x \to 3}(x^2 + 1) = 10$、おしまい。問題は $M = 0$ かつ $L = 0$ のときで、前のレッスンの図で見た「穴」がまさにそれです。

不定形 $\frac{0}{0}$ — 前のレッスンで触ったあの穴

前のレッスンで触った穴あき関数をもう一度。$x = 2$ を代入すると $\frac{0}{0}$ でした。

点xの値

$x$

穴あき関数です。xは0.500、関数の値は2.500です。xは2の左側から近づいており、関数の値は4に近づいています。

$\frac{0}{0}$ は「答えがない」のではなく「この形のままでは決まらない」という意味です。約分すれば正体が現れます:

$$\frac{x^2 - 4}{x - 2} = \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = x + 2 \quad (x \neq 2)$$

$x = 2$ ではこの等式の左辺・中辺は定義されませんが、$2$ 以外では $f(x) = x+2$ と一致するので、$2$ に近づくときの極限は同じ値になります:

$$\lim_{x \to 2} \frac{x^2-4}{x-2} = \lim_{x \to 2}(x+2) = 4$$

不定形の処理は微積分の背骨です。なにしろ微分の定義そのものが $\frac{0}{0}$ 型の極限なのですから(次章)。

試してみよう(手を動かす計算)

• $\lim_{x \to 1} \dfrac{x^2 - 1}{x - 1}$: 約分で 2
• $\lim_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{x + 1} - 1}{x}$: 分子の有理化で $\frac{1}{2}$
• $\lim_{x \to \infty} \dfrac{2x^2 + x}{x^2 + 3}$: 最高次で割って 2

3問とも「そのままでは決まらない形を、同値変形で決まる形に直す」だけです。

操作チャレンジ — 図で解く2問

追加演習 — もう2問

仕上げの2問です。前の問題より少しだけ手応えがあります。

式で確かめる

動かして掴んだ感覚を、式と言葉で確かめます。間違えても、ヒントと解説で戻れます。

確認 1 / 3

$\lim_{x\to 3} (x^2 + 1)$ の値はいくつですか?

答え

±√π

確認

ヒントを見る

確認 2 / 3

$\lim_{x\to 1} \dfrac{x^2 - 1}{x - 1}$ の値はいくつですか?

答え

±√π

確認

ヒントを見る

確認 3 / 3

$\lim_{x\to 0} \dfrac{\sqrt{x+1} - 1}{x}$ の値はいくつですか?

答え

±√π

確認

ヒントを見る