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微分 = 局所的な線形近似

$$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$$

この定義式、実は前のレッスンでやった「極限」の応用問題そのものです。 何が 0 に向かい、何がその行き先なのか——図をドラッグすれば10秒でわかります。

触ってみる

曲線上に2つの点があります。2点を通る直線を割線といいます。 青い点をドラッグして、赤い点にじわじわ近づけてください。

割線の傾きは $\dfrac{f(b) - f(a)}{b - a}$、つまり「2点間の平均変化率」です。 青い点を赤い点に近づける = $h = b - a$ を 0 に近づけると、割線はある1本の直線——接線(赤い破線)に向かって収束します。

$$\underbrace{\frac{f(a+h) - f(a)}{h}}_{\text{割線の傾き}} \;\xrightarrow{\;h \to 0\;}\; \underbrace{f'(a)}_{\text{接線の傾き}}$$

微分係数 $f'(a)$ とは、割線の傾きの極限。定義式は、いまあなたが指でやった操作をそのまま数式にしたものです。

なぜ「線形近似」と呼ぶのか

もうひとつの見方があります。曲線を拡大してみましょう。左は $y = x^2$、右は $y = |x|$ です。

y = x² を点 (1, 1) で拡大

y = |x| を点 (0, 0) で拡大

拡大率×1

なめらかな曲線は、拡大すればするほど直線に見えてきます。その直線こそ接線です。 つまり「$x = a$ の近くでは $f(x) \approx f(a) + f'(a)(x - a)$ という1次関数で代用できる」—— これが微分可能の正体で、機械学習で勾配が使えるのもこの性質のおかげです。

一方、右の $y = |x|$ は原点をどれだけ拡大しても尖ったまま。どの直線でも近似できないので、$x = 0$ で微分不可能です。

試してみよう

• 1つ目の図で、赤い点自体を曲線の別の場所へ動かしてください。場所ごとに接線の傾きが変わる——「傾きを返す関数」= 導関数 $f'(x)$ の感覚です
• 赤い点を曲線の谷のあたりに置くと、接線の傾きがほぼ 0 になります。極小点の予告編です

理解チェック

$f(x) = x^2$ の $x = 3$ での微分係数を、定義式 $\lim_{h \to 0} \frac{(3+h)^2 - 3^2}{h}$ から計算してください。

答えを見る

$\dfrac{(3+h)^2 - 9}{h} = \dfrac{6h + h^2}{h} = 6 + h \xrightarrow{h \to 0} 6$。

分子を展開して $h$ で約分してから $h \to 0$ ——「$\frac{0}{0}$ を約分で回避してから極限を取る」流れは、前レッスンの穴あき関数と同じです。