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微分係数を使う — 定義から計算へ

ウォームアップ — 第11章の振り返り

問1 / 1

グラフが x = 2 で「向かっている高さ」に、橙の破線をぴったり合わせてください。そこに関数の値はありません(穴)。

予想 L1.00

前のレッスンで、微分係数は「割線の傾きの極限」だと指で確かめました。 今日は同じことを式でやります。定義から直接計算できるようになると、 公式がただの暗記ではなく「毎回やる計算のショートカット」に見えてきます。

前のレッスンで触ったあの図、もう一度

青い点を近づける操作を、式に書き写します。$f(x) = x^2$、点 $a$ で:

$$\frac{f(a+h) - f(a)}{h} = \frac{(a+h)^2 - a^2}{h} = \frac{2ah + h^2}{h} = 2a + h$$

前レッスンの不定形と同じ流れです — $\frac{0}{0}$ を約分で回避してから $h \to 0$:

$$f'(a) = \lim_{h \to 0} (2a + h) = 2a$$

これですべての点の傾きが一度にわかりました。$(x^2)' = 2x$ という「導関数」です。

同じ計算を $x^n$ で

$(x^3)'$ も同じ手順です。$(a+h)^3 = a^3 + 3a^2h + 3ah^2 + h^3$ を使うと、 約分後に残るのは $3a^2 + (\text{h を含む項})$。よって $(x^3)' = 3x^2$。

一般に、二項展開の第2項だけが生き残って:

$$(x^n)' = nx^{n-1}$$

「べきが前に降りて、指数が1減る」— 公式の正体は毎回この約分です。

試してみよう

• $f(x) = \dfrac{1}{x}$ を定義から微分してみてください(通分→約分→ $-\dfrac{1}{x^2}$)
• 図の赤い点を谷底に置いて、$2a$ の式と見比べてください。$f = 0.1x^3 - 0.6x + 2$ の谷は $f' = 0.3x^2 - 0.6 = 0$、つまり $x = \sqrt{2}$ です

操作チャレンジ — 図で解く2問