積・商・合成 — 微分の文法

前章までで $(x^n)' = nx^{n-1}$ が手に入りました。でも実際の関数は $x \sin x$ や $\sin(3x)$ のように部品の組み合わせでできています。組み合わせの微分規則(いわば微分の文法)は3つだけです。

触ってみる — 積の法則は長方形

$f(x) \cdot g(x)$ を「縦 $g$、横 $f$ の長方形の面積」だと思ってください。スライダーで $x$ を動かすと、面積の増え方が2つの帯に分解されて見えます。

x1.20

同じ積の法則を、今度は $x$ の動きから離れて、長方形の「増えた面積の帳簿」として見ます。先ほどの図が関数の変化を追う見方なら、これは $f$ と $g$ の長さそのものが少し伸びたときの分解です。

横の長さ3.00縦の長さ2.00横の増分0.60縦の増分0.40

元の長方形

$fg = 6.00$

右の帯

$g\,df = 1.20$

上の帯

$f\,dg = 1.20$

角

$df\,dg = 0.24$

種明かし

$x$ が $dx$ 進むと、横が $f'dx$ 伸び、縦が $g'dx$ 伸びます。面積の増分は:

$$\underbrace{f' g \, dx}_{\text{縦帯}} + \underbrace{f g' \, dx}_{\text{横帯}} + \underbrace{f'g' \, dx^2}_{\text{角(無視できる)}}$$

$dx \to 0$ で角は消え、積の法則が残ります:

$$(fg)' = f'g + fg'$$

商の法則 $\left(\dfrac{f}{g}\right)' = \dfrac{f'g - fg'}{g^2}$ は、積の法則を $f = \frac{f}{g} \cdot g$ に適用すれば導けます(暗記は1つでいい)。

連鎖律 — 速さの掛け算

合成 $y = f(g(x))$ の微分は変化率の掛け算です:

$$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$$

第10章のパイプ図を思い出してください。$x$ が動くと中間変数 $u$ が $g'$ 倍速で動き、$u$ が動くと $y$ が $f'$ 倍速で動く。直列につないだ速さは掛け算です。それだけです。たとえば $y = \sin(3x)$ なら、中身が3倍速なので $y' = 3\cos(3x)$。

機械学習の誤差逆伝播は、この掛け算を何百層も続けているだけです。

理解チェック

$y = (x^2 + 1)^3$ を微分してください。

答えを見る

外の速さ $3u^2$ × 中の速さ $2x$ で、$y' = 3(x^2+1)^2 \cdot 2x = 6x(x^2+1)^2$。展開してから微分しても同じ答えになりますが、計算量が段違いです。

もう1問: $x^2 \cdot x^3$ の微分を、積の法則と「先に $x^5$ にまとめる」方法の両方で計算すると一致するでしょうか?

答えを見る

一致します($5x^4$)。積の法則: $2x\cdot x^3 + x^2\cdot 3x^2 = 2x^4 + 3x^4 = 5x^4$。道具が違っても答えは同じです。検算にも使えます。

式で確かめる

動かして掴んだ感覚を、式と言葉で確かめます。間違えても、ヒントと解説で戻れます。

確認 1 / 3

積の法則 $(fg)'$ はどれですか?

$f'g - fg'$$f'g + fg'$$f'g'$$(f'g + fg')/g^2$

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確認 2 / 3

連鎖律を使って $y = (x^2 + 1)^3$ を微分したとき、$x = 1$ での値はいくつですか?

答え

±√π

確認

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確認 3 / 3

$y = \sin(3x)$ の $x = 0$ での微分係数はいくつですか?

答え

±√π

確認

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