微分計算を固める

ウォームアップ — 第12章の振り返り

問1 / 1

問1・現在

リセット

青い点を赤い点($x = 1$)にじわじわ近づけて、割線を接線に収束させてください($h$ を 0.12 未満に)。

$b_x$

hは2.000、割線の傾きは0.700です。目標はf'(1) = -0.30への収束です。

$h = 2.000$　割線の傾き $= 0.700$($f'(1) = -0.30$)

文法(積・商・連鎖律)は揃いました。今日は語彙である初等関数の導関数を揃えて、どんな式でも微分できる状態を作ります。

よく使う導関数の一覧

$$\begin{aligned} (x^n)' &= nx^{n-1} & (e^x)' &= e^x \\ (\sin x)' &= \cos x & (\ln x)' &= \tfrac{1}{x} \\ (\cos x)' &= -\sin x & (a^x)' &= a^x \ln a \end{aligned}$$

覚え方に意味があるのは2つだけです。$(e^x)' = e^x$ は、「自分の高さがそのまま自分の傾き」になる特別な底だという、$e$ の定義を表しています。$(\sin x)' = \cos x$ は、単位円上を回る点の「高さの変化率」が「横位置」に等しくなるという、円の性質です。

組み合わせて使う

例1: $y = x^2 e^x$(積の法則)

$$y' = 2x \cdot e^x + x^2 \cdot e^x = (x^2 + 2x)e^x$$

例2: $y = \ln(\cos x)$(連鎖律)

$$y' = \frac{1}{\cos x} \cdot (-\sin x) = -\tan x$$

例3: $y = x^x$(対数微分。両辺の ln を取ってから微分)

$$\ln y = x \ln x \;\Rightarrow\; \frac{y'}{y} = \ln x + 1 \;\Rightarrow\; y' = x^x(\ln x + 1)$$

べきにも底にも $x$ がいる関数は、$\ln$ で「積の形」に落としてから微分します。

高階導関数 — 次章への伏線

$f'$ をもう一度微分した $f''$ は「傾きの変化率」です。$f'' > 0$ なら傾きが増え続ける(グラフは下に凸)、$f'' < 0$ なら上に凸。次章「関数の形を読む」の主役なので、名前だけ覚えて進みましょう。

操作チャレンジ — 図で解く2問

計算した導関数が図の上で本当に「傾き」になっているか、手で確かめます。

追加演習 — もう2問

仕上げの2問です。前の問題より少しだけ手応えがあります。

式で確かめる

動かして掴んだ感覚を、式と言葉で確かめます。間違えても、ヒントと解説で戻れます。

確認 1 / 3

$(\cos x)'$ はどれですか?

$\cos x$$-\sin x$$-\cos x$$\sin x$

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確認 2 / 3

微分しても形が変わらない関数($f' = f$)はどれですか?

$\ln x$$x^2$$\sin x$$e^x$

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確認 3 / 3

$(\ln x)' = 1/x$ を使うと、$y = \ln x$ の $x = 2$ での微分係数はいくつですか?

答え

±√π

確認

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