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微分計算を固める

ウォームアップ — 第12章の振り返り

問1 / 1

青い点を赤い点(x = 1)にじわじわ近づけて、割線を接線に収束させてください(h を 0.12 未満に)。

h = 2.000　割線の傾き = 0.700(f′(1) = -0.30)

文法(積・商・連鎖律)は揃いました。今日は語彙 — 初等関数の導関数 — を揃えて、 どんな式でも微分できる状態を作ります。

導関数カタログ(これだけで戦える)

$$\begin{aligned} (x^n)' &= nx^{n-1} & (e^x)' &= e^x \\ (\sin x)' &= \cos x & (\ln x)' &= \tfrac{1}{x} \\ (\cos x)' &= -\sin x & (a^x)' &= a^x \ln a \end{aligned}$$

覚え方に意味があるのは2つだけです。 $(e^x)' = e^x$ — 「自分の高さがそのまま自分の傾き」になる特別な底、それが $e$ の定義でした。 $(\sin x)' = \cos x$ — 単位円上を回る点の「高さの変化率」は「横位置」そのもの、という円の性質です。

組み合わせて使う

例1: $y = x^2 e^x$(積の法則)

$$y' = 2x \cdot e^x + x^2 \cdot e^x = (x^2 + 2x)e^x$$

例2: $y = \ln(\cos x)$(連鎖律)

$$y' = \frac{1}{\cos x} \cdot (-\sin x) = -\tan x$$

例3: $y = x^x$(対数微分 — 両辺の ln を取ってから微分)

$$\ln y = x \ln x \;\Rightarrow\; \frac{y'}{y} = \ln x + 1 \;\Rightarrow\; y' = x^x(\ln x + 1)$$

べきにも底にも $x$ がいる関数は、$\ln$ で「積の形」に落としてから微分します。

高階導関数 — 次章への伏線

$f'$ をもう一度微分した $f''$ は「傾きの変化率」です。 $f'' > 0$ なら傾きが増え続ける(グラフは下に凸)、$f'' < 0$ なら上に凸。 次章「関数の形を読む」の主役なので、名前だけ覚えて進みましょう。

操作チャレンジ — 図で解く2問

計算した導関数が図の上で本当に「傾き」になっているか、手で確かめます。