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合成・逆関数・グラフの変形

前のレッスンで関数は「機械」になりました。 機械なら直列につなぐことも、逆回しにすることもできるはずです。 この2つの操作 — 合成と逆関数 — が今日のテーマです。

触ってみる — 機械を直列につなぐ

スライダーで入力 $x$ を動かして、値が2台の機械を通り抜ける様子を追ってください。

x = 1.00

→ g(x) = x + 1 →

u = 2.00

→ f(u) = u² →

y = 4.00

入力 x1.00

これが合成関数 $f(g(x)) = (x+1)^2$ です。 大事なのは、途中の $u = g(x)$ という中間変数が見えること。 第13章で学ぶ連鎖律(合成関数の微分)は「$x$ が動くと $u$ がどれだけ動き、$u$ が動くと $y$ がどれだけ動くか」の掛け算になります。この図はその伏線です。

逆関数 = y = x での折り返し

機械 $f$ の逆回し $f^{-1}$ は「出力から入力を当てる」機械です。 青い点($y = e^x$ 上)をドラッグしてください。橙の鏡像($y = \ln x$ 上)が連動します。

点 $(a, b)$ が $f$ のグラフ上にある ⇔ $(b, a)$ が $f^{-1}$ のグラフ上にある。 入力と出力の役割を入れ替えるだけなので、グラフは $y = x$ を鏡にした折り返しになります。 $e^x$ と $\ln x$、$x^2$($x \geq 0$)と $\sqrt{x}$ — 微積分の主役たちはみんなこのペアで登場します。

試してみよう

• 鏡の図で、青い点を $y = x$ との交点近くに置いてください。鏡像とほぼ重なります(不動点)
• $e^x$ はどこでも増加なので逆関数が作れます。では $\sin x$ 全体の逆は?(同じ高さを何度も通る = 逆回しで答えが1つに決まらない。だから arcsin は定義域を絞ります)

操作チャレンジ — 図で解く2問