合成・逆関数・グラフの変形

前のレッスンで関数は「機械」になりました。機械なら直列につなぐことも、逆回しにすることもできるはずです。この2つの操作(合成と逆関数)が今日のテーマです。

触ってみる — 機械を直列につなぐ

スライダーで入力 $x$ を動かして、値が2台の機械を通り抜ける様子を追ってください。

$x = 1.00$

$\to g(x) = x + 1 \to$

$u = 2.00$

$\to f(u) = u^2 \to$

$y = 4.00$

入力 x1.00

これが合成関数 $f(g(x)) = (x+1)^2$ です。途中に $u = g(x)$ という中間変数が見えます。第13章で学ぶ連鎖律(合成関数の微分)は「$x$ が動くと $u$ がどれだけ動き、$u$ が動くと $y$ がどれだけ動くか」の掛け算になります。この図はその伏線です。

逆関数 = y = x での折り返し

機械 $f$ の逆回し $f^{-1}$ は「出力から入力を当てる」機械です。青い点($y = e^x$ 上)をドラッグしてください。橙の鏡像($y = \ln x$ 上)が連動します。

点 $(a, b)$ が $f$ のグラフ上にある $\iff$ $(b, a)$ が $f^{-1}$ のグラフ上にある。入力と出力の役割を入れ替えるだけなので、グラフは $y = x$ を鏡にした折り返しになります。$e^x$ と $\ln x$、$x^2$($x \geq 0$)と $\sqrt{x}$ など、微積分の主役たちはみんなこのペアで登場します。

試してみよう

• 鏡の図で、青い点をいろいろな位置に動かして、橙の鏡像が常に $y = x$ に対して対称な位置に来ることを確かめてください($e^x = x$ は実数解を持たない($e^x - x \geq 1$)ので、2本の曲線が $y=x$ 上で重なることはありません)
• $e^x$ はどこでも増加なので逆関数が作れます。では $\sin x$ 全体の逆は?(同じ高さを何度も通る = 逆回しで答えが1つに決まらない。だから arcsin は定義域を絞ります)

操作チャレンジ — 図で解く2問

追加演習 — もう2問

仕上げの2問です。前の問題より少しだけ手応えがあります。

式で確かめる

動かして掴んだ感覚を、式と言葉で確かめます。間違えても、ヒントと解説で戻れます。

確認 1 / 3

逆関数 $f^{-1}$ のグラフは、元の $f$ のグラフを何を鏡にして折り返したものですか?

$x$ 軸原点直線 $y = x$$y$ 軸

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確認 2 / 3

$y = e^x$ の逆関数はどれですか?

$y = x^2$$y = 1/e^x$$y = \ln x$$y = e^{-x}$

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確認 3 / 3

$f(x) = x^2$、$g(x) = x + 1$ のとき、合成 $g(f(x))$ に $x = 2$ を入れた値はいくつですか?

答え

±√π

確認

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