関数 = 入力を出力へ運ぶ機械

微積分は「関数を調べる学問」です。ところがその主役の関数を、多くの人は「$y = f(x)$ という式」としてしか見たことがありません。ここから始まる微積パートでは関数を入力を放り込むと出力が出てくる機械として扱い、しかもグラフごと手で動かせる対象にします。まず動かしてみましょう。

触ってみる

薄い線が元の $y = \sin x$ です。スライダー a と b を動かして、青い曲線がどう変形するかを観察してください。

a(横の伸縮)1.00b(縦の移動)0.00

種明かし

• a(中に掛ける): $\sin(ax)$ にすると、グラフが横に伸縮します。$a = 2$ なら波が2倍細かく(圧縮)、$a$ を負にすると左右が反転
• b(外に足す): $\sin(ax) + b$ にすると、グラフが縦に平行移動します

規則はひとつだけ:

$$\text{式の「中」への操作は横に、「外」への操作は縦に効く}$$

$f(x - 3)$ が右に3ずれる(左ではなく!)のも同じ理屈で、「中の $x$ が3だけ損をするので、追いつくために横軸が3遅れる」からです。

試してみよう

• $a$ をゆっくり 0 に近づけてください。波がどこまでも間延びして、$a = 0$ で水平線に潰れます
• $a = -1$ と $a = 1$ を見比べてください。$\sin(-x) = -\sin x$(奇関数)が目で見えます

理解チェック

$y = \sin(2x) + 1$ のグラフは、$y = \sin x$ をどう変形したものでしょうか?

答えを見る

横に $\frac{1}{2}$ 倍圧縮(波が2倍細かい)してから、上に 1 平行移動です。上のスライダーで $a = 2, b = 1$ にして確かめてください。

もう1問: $f(x) = x^2$、$g(x) = x + 1$ のとき、$f(g(x))$ と $g(f(x))$ は同じでしょうか?

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違います。$f(g(x)) = (x+1)^2$、$g(f(x)) = x^2 + 1$。合成は順序で結果が変わります。「どちらの機械に先に入れるか」で出力が変わります。

合成は「内側から順に計算する」と言えますが、値が次の入力に渡される流れとして見るともっとはっきりします。下の図では $x$ を動かして、$g(x)$ がそのまま $f$ の入力になる様子を追ってください。

入力

$x=1$

1段目

$g(x)=x+1=2$

2段目

$f(g(x))=(2)^2=4$

入力 $x$$1$

式で確かめる

動かして掴んだ感覚を、式と言葉で確かめます。間違えても、ヒントと解説で戻れます。

確認 1 / 3

$y = \sin(2x)$ は $y = \sin x$ をどう変形したものですか?

縦に2倍に伸ばす上に2平行移動横に $\tfrac{1}{2}$ 倍に圧縮(波が2倍細かい)横に2倍に引き伸ばす

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確認 2 / 3

$y = f(x - 3)$ は $y = f(x)$ のグラフをどちらへ動かしたものですか?

右へ3左へ3下へ3上へ3

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確認 3 / 3

$f(x) = x^2$、$g(x) = x + 1$ のとき、$f(g(2))$ の値はいくつですか?

答え

±√π

確認

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