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関数 = 入力を出力へ運ぶ機械

微積分は「関数を調べる学問」です。ところがその主役の関数を、 多くの人は「$y = f(x)$ という式」としてしか見たことがありません。 このコースでは関数を入力を放り込むと出力が出てくる機械として扱い、 しかもグラフごと手で動かせる対象にします。まず動かしてみましょう。

触ってみる

薄い線が元の $y = \sin x$ です。スライダー a と b を動かして、 青い曲線がどう変形するかを観察してください。

a(横の伸縮)1.00b(縦の移動)0.00

種明かし

• a(中に掛ける): $\sin(ax)$ — グラフが横に伸縮します。$a = 2$ なら波が2倍細かく(圧縮)、$a$ を負にすると左右が反転
• b(外に足す): $\sin(ax) + b$ — グラフが縦に平行移動します

規則はひとつだけ:

$$\text{式の「中」への操作は横に、「外」への操作は縦に効く}$$

$f(x - 3)$ が右に3ずれる(左ではなく!)のも同じ理屈で、 「中の $x$ が3だけ損をするので、追いつくために横軸が3遅れる」からです。

試してみよう

• $a$ をゆっくり 0 に近づけてください。波がどこまでも間延びして、$a = 0$ で水平線に潰れます
• $a = -1$ と $a = 1$ を見比べてください。$\sin(-x) = -\sin x$(奇関数)が目で見えます

理解チェック

$y = \sin(2x) + 1$ のグラフは、$y = \sin x$ をどう変形したものでしょうか?

答えを見る

横に $\frac{1}{2}$ 倍圧縮(波が2倍細かい)してから、上に 1 平行移動です。 上のスライダーで $a = 2, b = 1$ にして確かめてください。