積分を使う — 原始関数と基本定理

ウォームアップ — 第14章の振り返り

問1 / 1

a を動かして、2つの極値(赤い点)が1点に合流して消える瞬間を作ってください。

a-1.20

$f'(x) = x^2 + a$ 　極値 $x = \pm1.10$

前のレッスンで、リーマン和(短冊の面積の合計)の収束と「S′(x) = f(x)」という衝撃の再会を見ました。このレッスンでは基本定理を計算の道具に変えます。

振り返り — あの連動図

もう一度、面積関数の図に触ってください。赤い点を動かして「S の傾き = f の高さ」を思い出します。

上: $f(x)$ と 0 から x までの面積(赤い点をドラッグ)

下: 面積関数 $S(x)$ とその接線

f(2.50) = 1.598

(上の高さ)　

S'(2.50) = 1.598

(下の接線の傾き)— 常に一致する

原始関数という発想の転換

基本定理 $S'(x) = f(x)$ を裏返すと、面積を求める手順はこうなります:

\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a) \quad (F' = f)

「微分すると $f$ になる関数 $F$ 」= 原始関数を1つ見つければ、短冊を無限に足す作業が引き算1回で終わる。これが基本定理の実用面です。

例: $f(x) = x^2$ なら $F(x) = \frac{x^3}{3}$ (微分して確認: $F'(x) = x^2$ ✓)。よって

\int_0^2 x^2\,dx = \frac{2^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{8}{3}

微分の逆引き表

原始関数探しは微分の知識の「逆引き」です。第13章の計算規則がそのまま資産になります:

$f(x)$	原始関数 $F(x)$
$x^n$	$\frac{x^{n+1}}{n+1}$ ( $n \neq -1$ )
$\frac{1}{x}$	$\ln \lvert x\rvert$
$e^x$	$e^x$
$\sin x$	$-\cos x$
$\cos x$	$\sin x$

原始関数は1つではありません( $F + C$ も微分すれば $f$ )。定積分では引き算で $C$ が消えるので、どれを選んでも同じ答えになります。

符号付き面積という注意点

$\displaystyle \int_0^{2\pi} \sin x\,dx = [-\cos x]_0^{2\pi} = 0$ になりますが、面積が「消える」のでしょうか? グラフの下側( $f < 0$ の部分)は負の面積として引かれるからです。純粋な「面積の合計」が欲しいときは $|f|$ を積分します。この感覚は下のチャレンジで。

試してみよう

$\displaystyle \int_1^e \frac{1}{x}dx$ を逆引き表で計算してください( $= \ln e - \ln 1 = 1$ 。 $e$ の定義そのもの)
$F(x) = \frac{x^3}{3} + 100$ を使っても $\displaystyle \int_0^2 x^2 dx = \frac{8}{3}$ になることを確認(定数は消える)

操作チャレンジ — 図で解く2問

問1 / 2

面積関数の増える速さ $S'(x)$ が、ちょうど 1.5(橙の破線の高さ)になる x を探してください。

x0.50

$S'(x) = f(x) = 0.563$

追加演習 — もう2問

仕上げの2問です。前の問題より少しだけ手応えがあります。

問1 / 2

右端 b を動かして、 $y = x^2$ の下の面積 $\int_0^b x^2 dx$ をちょうど 9 にしてください。

右端 b1.50

$\int_0^b x^2 dx = b^3/3 = 1.13$ (目標 9)

式で確かめる

動かして掴んだ感覚を、式と言葉で確かめます。間違えても、ヒントと解説で戻れます。

確認 1 / 3

$\displaystyle \int_0^2 x^2\,dx$ はいくつですか?(小数でよい)

答え

確認 2 / 3

$\displaystyle \int_1^e \frac{1}{x}\,dx$ はいくつですか?

答え

確認 3 / 3

定積分で原始関数を選ぶとき、積分定数 $C$ の値はどう影響しますか?

この章の定義・定理・公式をまとめて確認する

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執筆: 榎本颯斗／監修: 中野竜之介

中野竜之介: 北海道大学大学院数学専攻博士課程・専門: 特殊関数論と代数幾何の交わり

数学レビュー協力: 野田一成･木村敏樹

最終更新: 2026-07-05

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