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積分を使う — 原始関数と基本定理

ウォームアップ — 第14章の振り返り

問1 / 1

a を動かして、2つの極値(赤い点)が1点に合流して消える瞬間を作ってください。

a-1.20

f′(x) = x² + a　極値 x = ±1.10

前のレッスンで、リーマン和の収束と「S′(x) = f(x)」という衝撃の再会を見ました。 このレッスンでは基本定理を計算の道具に変えます。

振り返り — あの連動図

もう一度、面積関数の図に触ってください。赤い点を動かして「S の傾き = f の高さ」を思い出します。

上: f(x) と 0 から x までの面積

下: 面積関数 S(x) とその接線

原始関数という発想の転換

基本定理 $S'(x) = f(x)$ を裏返すと、面積を求める手順はこうなります:

$$\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a) \quad (F' = f)$$

「微分すると $f$ になる関数 $F$」= 原始関数を1つ見つければ、 短冊を無限に足す作業が引き算1回で終わる。これが基本定理の実用面です。

例: $f(x) = x^2$ なら $F(x) = \frac{x^3}{3}$(微分して確認: $F'(x) = x^2$ ✓)。よって

$$\int_0^2 x^2\,dx = \frac{2^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{8}{3}$$

微分の逆引き表

原始関数探しは微分の知識の「逆引き」です。第13章の計算規則がそのまま資産になります:

| $f(x)$ | 原始関数 $F(x)$ | |---|---| | $x^n$ | $\frac{x^{n+1}}{n+1}$($n \neq -1$) | | $\frac{1}{x}$ | $\ln\|x\|$ | | $e^x$ | $e^x$ | | $\sin x$ | $-\cos x$ | | $\cos x$ | $\sin x$ |

原始関数は1つではありません($F + C$ も微分すれば $f$)。 定積分では引き算で $C$ が消えるので、どれを選んでも同じ答えになります。

符号付き面積という注意点

$\int_0^{2\pi} \sin x\,dx = [-\cos x]_0^{2\pi} = 0$ — 面積が「消える」? グラフの下側($f < 0$ の部分)は負の面積として引かれるからです。 純粋な「面積の合計」が欲しいときは $|f|$ を積分します。この感覚は下のチャレンジで。

試してみよう

• $\int_1^e \frac{1}{x}dx$ を逆引き表で計算してください($= \ln e - \ln 1 = 1$。$e$ の定義そのもの)
• $F(x) = \frac{x^3}{3} + 100$ を使っても $\int_0^2 x^2 dx = \frac{8}{3}$ になることを確認(定数は消える)

操作チャレンジ — 図で解く2問