積分 = 変化の蓄積

「積分は微分の逆」と習った人が多いはず。でもそれは積分の定義ではなく、あとで証明される定理です。 積分の出発点はもっと素朴で、「曲がった図形の面積を、短冊で測る」ことです。ここから始めましょう。

触ってみる

曲線 $f(x) = \frac{x^2}{4} + \frac{1}{2}$ の下の面積($0 \le x \le 4$)を、$n$ 本の短冊で近似します。 分割数のスライダーを動かしてください。

分割数 n6

短冊の高さ左端中点右端

短冊が粗いうちは誤差が目立ちますが、$n$ を増やすと合計値はある一定の値、$\frac{22}{3} = 7.333\ldots$ に収束していきます。この極限値が定積分です:

$$\int_0^4 f(x)\, dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} f(x_i)\, \Delta x$$

$\displaystyle \int$ は $\sum$(和)の、$dx$ は $\Delta x$(短冊の幅)のなれの果て。記号自体が「細かく刻んで足す」と言っています。 左端・中点・右端のどれで測っても同じ値に収束することも、ボタンを切り替えて確かめてください。

微分との衝撃の再会

ここまで積分に微分は一切登場していません。ところが、面積を「右端 $x$ を動かしたときの関数」$\displaystyle S(x) = \int_0^x f(t)\,dt$ と見ると、驚くことが起きます。 赤い点をドラッグしてください。

上: $f(x)$ と 0 から x までの面積(赤い点をドラッグ)

下: 面積関数 $S(x)$ とその接線

点xの値

$x$

xは2.50。上の図の高さf(x)は1.598、下の図の面積関数S(x)の接線の傾きS'(x)も1.598で、常に一致します。

上のグラフの高さ $f(x)$ と、下の面積関数の接線の傾き $S'(x)$ が、どこでも完全に一致します。つまり:

$$S'(x) = f(x)$$

面積関数を微分すると、もとの関数に戻ります。これが微積分学の基本定理です。 直感的には「面積の増える速さ = その瞬間の高さ」。だから面積(積分)を求めるには、「微分すると $f$ になる関数」= 原始関数を探せばよいことになります。「積分は微分の逆」はここで初めて証明されるのです。

試してみよう

• 分割数 $n = 1$ にしてみてください。たった1本の長方形でも「近似」の出発点としては正しいことがわかります
• 2つ目の図で、上のグラフの高さが低い場所($f(x)$ が小さい場所)では、下の $S(x)$ の増え方が緩やかになることを確認してください

理解チェック

$\displaystyle S(x) = \int_0^x t^2\, dt$ のとき、$S'(2)$ はいくつでしょうか?(積分を計算せずに答えられます)

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基本定理より $S'(x) = x^2$、よって $S'(2) = 4$。 「面積の増える速さ = その場所の高さ」なので、被積分関数に 2 を代入するだけです。

もう1問: $\displaystyle \int_1^3 2x\,dx$ はいくつでしょうか?

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8 です。原始関数は $x^2$ なので $\bigl[x^2\bigr]_1^3 = 9 - 1 = 8$。「微分すると $2x$ になる関数」を探して端の差を取ります。基本定理の型どおりです。

式で確かめる

動かして掴んだ感覚を、式と言葉で確かめます。間違えても、ヒントと解説で戻れます。

確認 1 / 3

S(x) = $\displaystyle \int_0^x t^2\,dt$ のとき、$S'(2)$ はいくつですか?(積分を計算せずに答えられます)

答え

±√π

確認

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確認 2 / 3

$\displaystyle \int_1^3 2x\,dx$ はいくつですか?

答え

±√π

確認

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確認 3 / 3

面積関数 $\displaystyle S(x) = \int_0^x f(t)\,dt$ を微分すると何になりますか?(微積分学の基本定理)

$S(x)$$f'(x)$$f(x)$$0$

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