最大最小と平均値の定理

ウォームアップ — 第13章の振り返り

問1 / 1

$y = \sin 3x$ 上でスライダーを動かし、接線の傾きがちょうど $-3$ になる x を探してください。

x0.200

$y = \sin 3x$ 　 $dy/dx = 3\cos 3x = 2.476$

増減表で「形」が読めるようになりました。今日はそれを2つの実戦に接続します: 最大最小問題(実務の最適化)と、増減表の応用を支える理論的な根拠である平均値の定理です。

触ってみる — 平均値の定理

第12章の割線図の発展形です(曲線も同じもの)。青い線は両端 $x = -2, 2$ を結ぶ割線。赤い点をドラッグして、接線(破線)が割線と平行になる場所を探してください。

割線の傾き = -0.20　接線の傾き

f'(0.50) = -0.53

区間 $[a, b]$ で連続、かつ開区間 $(a, b)$ で微分可能な関数には、必ず

f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a} \quad (a < c < b)

を満たす $c$ が存在します。平均の傾きと同じ瞬間の傾きが、途中に必ずあるということです。 2時間で120km走ったなら、どこかの瞬間で必ず時速60kmが出ていた、という主張です。

「当たり前」に見えますが、これが「 $f' > 0$ なら増加」「 $f' = 0$ が続けば定数」という、増減表のすべての根拠です。図で自明に見える定理が理論の土台になっている好例です。

閉区間 $[a, b]$ での最大・最小は、次の候補を比べるだけで確定します:

端点を忘れるのが定番のミスです。増減表は内側しか見ていないので、「区間の縁」は別枠で必ずチェックします。

上の図で、 $c$ の候補が2ヶ所あることを確かめてください( $f'$ が2次式なので)
$f(x) = x^3 - 3x$ の $[0, 3]$ での最大・最小は? 候補は $x = 1$ (内側の谷)と端点 $0, 3$ 。値は $0, -2, 18$ → 最大18・最小−2

問1 / 2

a を動かして、2つの極値(赤い点)が1点に合流して消える瞬間を作ってください。

a-1.20

$f'(x) = x^2 + a$ 　極値 $x = \pm1.10$

仕上げの2問です。前の問題より少しだけ手応えがあります。

問1 / 2

$y = x^3 - 3x$ の上で【極大点】(山のてっぺん)へ点を移動してください。

$y = x^3 - 3x$ の【極大点】へ(接線の傾き 3.75)

動かして掴んだ感覚を、式と言葉で確かめます。間違えても、ヒントと解説で戻れます。

確認 1 / 3

$f(x) = x^3 - 3x$ の閉区間 $[0, 3]$ での最大値はいくつですか?

答え

確認 2 / 3

$f(x) = x^3 - 3x$ の閉区間 $[0, 3]$ での最小値はいくつですか?

答え

確認 3 / 3

閉区間 $[a, b]$ での最大・最小を求めるとき、内側の $f'=0$ の点以外に必ず調べるべきものはどれですか?

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執筆: 榎本颯斗／監修: 中野竜之介

中野竜之介: 北海道大学大学院数学専攻博士課程・専門: 特殊関数論と代数幾何の交わり

数学レビュー協力: 野田一成･木村敏樹

最終更新: 2026-07-05

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