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最大最小と平均値の定理

ウォームアップ — 第13章の振り返り

問1 / 1

y = sin 3x 上でスライダーを動かし、接線の傾きがちょうど −3 になる x を探してください。

x0.200

y = sin 3x　dy/dx = 3cos 3x = 2.476

増減表で「形」が読めるようになりました。今日はそれを2つの実戦に接続します: 最大最小問題(実務の最適化)と、応用すべての理論的な根拠である平均値の定理です。

触ってみる — 平均値の定理

第12章の割線図の発展形です(曲線も同じもの)。青い線は両端 $x = -2, 2$ を結ぶ割線。 赤い点をドラッグして、接線(破線)が割線と平行になる場所を探してください。

種明かし

区間 $[a, b]$ で滑らかな関数には、必ず

$$f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a} \quad (a < c < b)$$

を満たす $c$ が存在します。平均の傾きと同じ瞬間の傾きが、途中に必ずある — 2時間で120km走ったなら、どこかの瞬間で必ず時速60kmが出ていた、という主張です。

「当たり前」に見えますが、これが「$f' > 0$ なら増加」「$f' = 0$ が続けば定数」という、 増減表のすべての根拠です。図で自明に見える定理が理論の土台になっている好例です。

最大最小 — 候補は3種類だけ

閉区間 $[a, b]$ での最大・最小は、次の候補を比べるだけで確定します:

1. $f' = 0$ の点(内側の山・谷)
2. $f'$ が存在しない点(尖り)
3. 端点 $a, b$

端点を忘れるのが定番のミスです。増減表は内側しか見ていないので、 「区間の縁」は別枠で必ずチェックします。

試してみよう

• 上の図で、$c$ の候補が2ヶ所あることを確かめてください($f'$ が2次式なので)
• $f(x) = x^3 - 3x$ の $[0, 3]$ での最大・最小は? 候補は $x = 1$(内側の谷)と端点 $0, 3$。値は $0, -2, 18$ → 最大18・最小−2

操作チャレンジ — 図で解く2問