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増減・凹凸 — 導関数で形を読む

微分計算ができるようになった今、その使い道の第一弾です。 $f'$ と $f''$ の符号だけで、グラフを描かずに関数の形が読めます。 むしろ順序は逆 — 形を読む道具として増減表があるのです。

触ってみる — 極値が生まれ、消える

$f(x) = \dfrac{x^3}{3} + ax + b$ の $a$ を動かしてください。赤い点が極値です。

a-1.00b0.50

$a < 0$ では山と谷が1つずつ。$a$ を 0 に近づけると2つが接近し、 $a = 0$ で合流して消滅、$a > 0$ ではただの単調増加になります。

種明かし

$f'(x) = x^2 + a$ です。極値の候補は $f' = 0$ の解:

• $a < 0$: 解が2つ($x = \pm\sqrt{-a}$)→ 増→減→増、山と谷
• $a = 0$: 重解 $x = 0$ → 傾きは0になるが符号が変わらない = 極値ではない(変曲点)
• $a > 0$: 解なし → ずっと増加

つまり増減表とは「$f'$ の符号が変わる場所の一覧表」です。 さらに $f''$ の符号は凹凸(グラフが上に膨らむか下に膨らむか)を教えます。 $f'' = 2x$ なので、この関数は $x = 0$ を境に凹凸が切り替わる — これが変曲点です。

上の図で起きたことの正体

$a$ を動かして極値が生滅する現象は、パラメータ付きの関数族の「形の相転移」です。 機械学習で損失関数のハイパーパラメータを動かすと局所解が現れたり消えたりするのは、 まさにこの図の高次元版です。

試してみよう

• $b$ を動かしてください。グラフは上下するだけで、極値の位置(x座標)は変わりません。$f'$ に $b$ が入っていないからです
• $a = -1.5$ にして、山と谷の間の距離を読み、$2\sqrt{1.5} \approx 2.45$ と比べてください

理解チェック

$f(x) = x^3 - 3x$ の極大値・極小値を求めてください。

答えを見る

$f' = 3x^2 - 3 = 0$ より $x = \pm 1$。$f'' = 6x$ なので $x = -1$ で $f'' < 0$(上に凸 = 極大)、 極大値 $f(-1) = 2$、極小値 $f(1) = -2$。上の図の $a = -3, b = 0$ を3で割った形です。