増減・凹凸 — 導関数で形を読む

微分計算ができるようになった今、その使い道の第一弾です。$f'$ と $f''$ の符号だけで、グラフを描かずに関数の形が読めます。むしろ順序は逆で、形を読む道具として増減表があるのです。

触ってみる — 極値が生まれ、消える

$f(x) = \dfrac{x^3}{3} + ax + b$ の $a$ を動かしてください。赤い点が極値です。

a(曲がり方)-1.00b(上下シフト)0.50

$a < 0$ では山と谷が1つずつ。$a$ を 0 に近づけると2つが接近し、$a = 0$ で合流して消滅、$a > 0$ ではただの単調増加になります。

種明かし

$f'(x) = x^2 + a$ です。極値の候補は $f' = 0$ の解:

• $a < 0$: 解が2つ($x = \pm\sqrt{-a}$)→ 増→減→増、山と谷
• $a = 0$: 重解 $x = 0$ → 傾きは0になるが符号が変わらない = 極値ではない(変曲点)
• $a > 0$: 解なし → ずっと増加

つまり増減表とは「$f'$ の符号が変わる場所の一覧表」です。さらに $f''$ の符号は凹凸(グラフが上に膨らむか下に膨らむか)を教えます。$f'' = 2x$ なので、この関数は $x = 0$ を境に凹凸が切り替わります。これが変曲点です。$f''$ の符号を、元のグラフの反り方と並べて見ると次のようになります。スライダーで $x$ を動かし、同じ $x$ で $f''(x)$ の符号と凹凸が対応することを確かめてください。

元の関数 $f(x)$

2階微分 $f''(x)$

調べる位置 $x$$x=-0.82$

左の変曲点 $x=-\sqrt{2/3}$右の変曲点 $x=\sqrt{2/3}$

選んだ点

$(-0.82, -0.56)$

2階微分

$f''(x)=0$、$f''(-0.82)=0.00$

凹凸

$f''(x)=0$ なので 変曲点

上の図で起きたことの正体

$a$ を動かして極値が生滅する現象は、パラメータ付きの関数族の「形の相転移」です。機械学習で損失関数のハイパーパラメータを動かすと局所解が現れたり消えたりするのも、変数がもっと多いだけで、同じ「パラメータが変わると極値の個数・位置が変わる」現象です。

試してみよう

• $b$ を動かしてください。グラフは上下するだけで、極値の位置(x座標)は変わりません。$f'$ に $b$ が入っていないからです
• $a = -1.5$ にして、山と谷の間の距離を読み、$2\sqrt{1.5} \approx 2.45$ と比べてください

理解チェック

$f(x) = x^3 - 3x$ の極大値・極小値を求めてください。

答えを見る

$f' = 3x^2 - 3 = 0$ より $x = \pm 1$。$f'' = 6x$ なので $x = -1$ で $f'' < 0$(上に凸 = 極大)、極大値 $f(-1) = 2$、極小値 $f(1) = -2$。上の図の $F(x) = x^3/3 + ax + b$ で $a = -1, b = 0$ とした形($F(x) = x^3/3 - x$)を3倍すると $f$ になります。

もう1問: 増減表で y′ の符号が − から + に変わる点は、極大・極小のどちらでしょうか?

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極小です。減ってから増える = 谷底。+から−なら極大(山)。「y′=0の点」ではなく「符号が変わる点」が本体です。

式で確かめる

動かして掴んだ感覚を、式と言葉で確かめます。間違えても、ヒントと解説で戻れます。

確認 1 / 3

$f(x) = x^3 - 3x$ の極大値はいくつですか?

答え

±√π

確認

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確認 2 / 3

$f(x) = x^3 - 3x$ の極小値はいくつですか?

答え

±√π

確認

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確認 3 / 3

増減表で $y'$ の符号が - から + に変わる点は、極大・極小のどちらですか?

極小どちらでもない変曲点極大

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