置換積分・部分積分 — 積分を「写し替える」

原始関数の逆引き表に載っていない積分はどうするか。答えは「知っている形に写し替える」。その二大技法が置換積分と部分積分です。

触ってみる — 面積が保存される瞬間

$\displaystyle \int 2x \cos(x^2)\,dx$ は表にありません。でも $u = x^2$ という新しい変数で世界を見直すとどうなるでしょうか。スライダーで上端を動かして、左右の面積が常に一致するのを確かめてください。

局所的には、$dx$ が $du \approx g'(x)dx$ に写る補正として見えます。次の図では小区間を動かし、$x$ 側と $u$ 側で同じ面積片になることを比べます。

$g(x)=x^2+0.2x$$g'(x)=2x+0.2$$f(u)=1+0.35\cos u$

$x$ の世界: $f(g(x))g'(x)$

$u=g(x)$ の世界: $f(u)$

小区間の位置0.700

全体の面積

$1.920$

選んだ小区間

$dx=0.080$、$du=0.134$

伸縮率

$g'(0.700)=1.600$

局所面積

$0.170$

種明かし — 置換積分

$u = x^2$ とおくと $du = 2x\,dx$。つまり被積分関数の「$2x$」の部分は、横軸の伸縮率の補正係数だったのです:

$$\int_0^b 2x\cos(x^2)\,dx = \int_0^{b^2} \cos u\,du = \sin(b^2)$$

x の世界では場所ごとに横幅が伸縮しますが($dx$ と $du$ の比率が $2x$)、その補正込みで面積は完全に保存されます。「置換積分 = 変数の付け替えによる面積の写し替え」ということです。公式 $du = g'(x)dx$ の正体はこの伸縮補正です。

部分積分 — 積の法則の逆再生

第13章の積の法則 $(fg)' = f'g + fg'$ を積分すると:

$$\int f g'\,dx = fg - \int f' g\,dx$$

「積の形の積分」を「別の積の形」に付け替える道具です。定番の例:

$$\int x e^x dx = x e^x - \int 1 \cdot e^x dx = (x-1)e^x + C$$

微分すると簡単になるもの($x$)を $f$、積分できるもの($e^x$)を $g'$ に選ぶのがコツです。

試してみよう

• $\displaystyle \int \cos(3x)\,dx$ を置換($u = 3x$)で。補正係数 $\frac{1}{3}$ を忘れずに
• $\displaystyle \int x \cos x\,dx$ を部分積分で($= x\sin x + \cos x + C$。微分して検算を)
• 上の図で $b$ を最大まで動かすと面積が減り始めます。$\cos(x^2)$ が負になる領域に入ったからで、前レッスンの「符号付き面積」の話です

理解チェック

$\displaystyle \int_0^1 2x\, e^{x^2} dx$ は?(置換一発です)

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$u = x^2$ で $\displaystyle \int_0^1 e^u du = e - 1 \approx 1.718$。「$2x$ が $du$ の補正分としてちょうど吸収される」形は、見えるようになると一瞬です。

もう1問: $\displaystyle \int x \cos x\,dx$ を計算するには、どの技法を選ぶべきでしょうか?

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部分積分です。x(多項式)は微分すると消えていき、cos x は積分してもぐるぐる回るだけです。「微分でほどける方をほどく」のが選択の目安です。置換が効くのは「中身の微分が外にいる」形のときでした。

式で確かめる

動かして掴んだ感覚を、式と言葉で確かめます。間違えても、ヒントと解説で戻れます。

確認 1 / 3

$\displaystyle \int_0^1 2x\,e^{x^2}\,dx$ はいくつですか?(置換一発。小数でよい)

答え

±√π

確認

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確認 2 / 3

$\displaystyle \int x\cos x\,dx$ を計算するには、どの技法を選ぶのが適切ですか?

逆引き表だけで済む置換積分どちらも使えない部分積分

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確認 3 / 3

部分積分の公式 $\displaystyle \int f g'\,dx$ はどれと等しいですか?

$\displaystyle f'g' - \int fg\,dx$$\displaystyle f'g - \int f g'\,dx$$\displaystyle fg - \int f' g\,dx$$\displaystyle fg + \int f' g\,dx$

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