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面積・体積・広義積分 — 積分を伸ばす

ウォームアップ — 第15章の振り返り

問1 / 1

面積関数の増える速さ S′(x) が、ちょうど 1.5(橙の破線の高さ)になる x を探してください。

x0.50

S′(x) = f(x) = 0.563

技法を手に入れたので、積分の適用範囲を広げます。 有限の区間から無限の区間へ、面積から体積へ。

触ってみる — 無限に伸ばしても有限?

$y = x^{-p}$ の $x = 1$ から右の面積を考えます。右端 $R$ をどんどん伸ばし、 さらに $p$(減衰の速さ)を変えて、面積が頭打ちになる場合と無限に育つ場合を見つけてください。

種明かし — 広義積分

$$\int_1^\infty \frac{dx}{x^p} = \lim_{R \to \infty} \int_1^R \frac{dx}{x^p} = \begin{cases} \frac{1}{p-1} & (p > 1 \text{ 収束}) \\ \infty & (p \leq 1 \text{ 発散}) \end{cases}$$

境目は $p = 1$。$\frac{1}{x^2}$ は無限に伸ばしても面積 1 に収まり、 $\frac{1}{x}$ はどこまでも育ちます。減衰の速さがすべて—— これは大学微積コース(級数の章)の $\sum \frac{1}{n^p}$ の収束・発散と同じ現象です(積分判定法)。

統計コースで出会う正規分布の釣鐘 $e^{-x^2}$ は最強クラスの減衰で、 $\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2}dx = \sqrt{\pi}$ と有限。この計算は大学微積コース・重積分の章のクライマックスでやります。

面積から体積へ

区間を細かく刻む発想はそのまま3次元に伸びます。曲線 $y = f(x)$ を x 軸まわりに回すと、 位置 $x$ の薄い輪切りは半径 $f(x)$ の円盤(面積 $\pi f(x)^2$)。積み上げれば:

$$V = \int_a^b \pi f(x)^2\,dx$$

例: $y = \sqrt{x}$($0 \le x \le 4$)を回すと $V = \pi\int_0^4 x\,dx = 8\pi$。 「刻む→足す→極限」のパターンは面積でも体積でも曲線の長さでも同じです。

試してみよう

• 上の図で $p = 1.01$ にして $R$ を最大へ。収束はする(緑)けれど極限値 $\frac{1}{0.01} = 100$ は遥か先 — 収束の「遅さ」も体感できます
• $p = 0.5$ で面積の育ち方を見てください。$\sqrt{R}$ のペースで無限に育ちます

操作チャレンジ — 図で解く2問