変換を使う — 合成と非可換

前回、行列は「空間を変形させる操作」で、列は基底の行き先でした。 今回は変換を続けて適用します。行列の掛け算の正体がここで分かります。

ウォームアップ — 第2章の振り返り

問1 / 1

問1・現在

リセット

2本目の基底ベクトルをドラッグして、1本目と同じ直線上に重ねてください。平面の広がりが線に潰れる状態を作ります。

areaRatio = 0.60(0 に近いほど平行)

触ってみる — 順番を入れ替える

ボタンで「回転してからせん断」と「せん断してから回転」を切り替えてください。 同じ2つの変換なのに、結果の格子が違います。

回転90° → せん断せん断 → 回転90°

行列の積 = 変換の合成

変換 $B$ をしてから変換 $A$ をする合成は、1つの行列 $AB$ で書けます (適用は右から順、と覚えます: $A(B\vec{x}) = (AB)\vec{x}$)。

$AB$ の中身はどう決まるか。答えは前回と同じ発想です: 合成後の基底の行き先を列に並べるだけ。 $\hat{\imath}$ を $B$ で送り、その行き先をさらに $A$ で送る。 それが $AB$ の1列目です。計算式にすると:

$$\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} p & q \\ r & s \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ap + br & aq + bs \\ cp + dr & cq + ds \end{pmatrix}$$

丸暗記しがちな「行×列」のルールは、「列 = 基底の行き先の追跡」から自動的に出てきます。

非可換 — 順序は交換できない

上の図で見た通り、一般に $AB \neq BA$ です。 「服を着てから靴を履く」と「靴を履いてから服を着る」が違うのと同じで、 変換は操作だから順序に意味があります。数の掛け算の常識がひとつ壊れる、線形代数の名物ポイントです。

一方で結合法則 $(AB)C = A(BC)$ は成り立ちます。 「3つの操作をこの順で行う」という事実は、どこで区切っても変わらないからです。

特別な行列たち

• 単位行列 $I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ — 何もしない変換。$AI = IA = A$
• 零行列 — すべてを原点に潰す変換
• 転置 $A^T$ — 行と列の入れ替え。幾何的な意味は第8章(直交行列)で効いてきます

理解チェック

90°回転を4回合成すると、どんな行列になるでしょうか?

答えを見る

360°回転 = 何もしない = 単位行列です。$R^4 = I$。 計算せずに幾何で即答できます。これが「行列 = 変換」の見方の強さです。

式で確かめる

動かして掴んだ感覚を、式と言葉で確かめます。間違えても、ヒントと解説で戻れます。

確認 1 / 3

一般に、行列の積 $AB$ と $BA$ の関係として正しいのはどれですか?

$AB$ は必ず零行列$AB$ は必ず単位行列$AB = BA$ が常に成り立つ$AB \neq BA$ になりうる(積は順序に依存する=非可換)

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確認 2 / 3

行列の積 $\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix}$ の (1,1) 成分(1行1列)はいくつですか?

答え

±√π

確認

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確認 3 / 3

90°回転を4回合成すると、どんな変換(行列)になりますか?

鏡映零行列180°回転単位行列(何もしない変換)

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操作チャレンジ — 図で解く5問

合成変換を、基底の行き先の追跡だけで作ってみましょう。