行列 = 線形変換

「行列とは数を長方形に並べたもの」。教科書のこの定義で挫折した人のためのレッスンです。 行列の正体は空間を変形させる操作です。正確にいえば、基底を決めたうえで線形写像を成分表示したものを指します。ここでは直感を優先して「変形の操作」として手で動かし、「線形写像」という正式な言い方は後の章で回収します。定義を暗記する前に、まず動かして見てみましょう。

触ってみる

下の図の 赤い点(基底ベクトル $\hat{\imath}$ の行き先)と 青い点($\hat{\jmath}$ の行き先)をドラッグしてください。 緑の格子(変換後の空間)と黄色い正方形(単位正方形の行き先)が連動して変形します。

基底ベクトル i ハットの成分

$\hat{\imath}_x$$\hat{\imath}_y$

基底ベクトル j ハットの成分

$\hat{\jmath}_x$$\hat{\jmath}_y$

リセット

行列 A: 第1列 (1.0, 0.0)、第2列 (0.0, 1.0)、行列式 1.0

いま何が起きていたのか

2×2 行列

$$A = \begin{pmatrix} a & c \\ b & d \end{pmatrix}$$

の1列目 $\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$ は「$\hat{\imath} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ がどこに移るか」、 2列目 $\begin{pmatrix} c \\ d \end{pmatrix}$ は「$\hat{\jmath} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ がどこに移るか」 を表しています。 あなたがドラッグしていたのは、まさにこの「列」そのものです。

基底の行き先さえ決まれば、他のすべてのベクトルの行き先も自動的に決まります。 これが線形性であり、行列とベクトルの積

$$A \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = x \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} + y \begin{pmatrix} c \\ d \end{pmatrix}$$

は「$x$ 個の新しい $\hat{\imath}$ と $y$ 個の新しい $\hat{\jmath}$ を足す」という意味だったのです。

試してみよう

図をもう一度操作して、次の変換を作ってみてください。

• 回転: 赤い点を $(0, 1)$、青い点を $(-1, 0)$ へ → 90°回転
• せん断: 赤い点は $(1, 0)$ のまま、青い点を $(1, 1)$ へ → 格子が斜めに傾く
• つぶす: 赤と青を同一直線上に置く → 平面全体が1本の直線に潰れる(det A = 0 になることを確認)

理解チェック

行列 $A = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ は空間をどう変形させるでしょうか?

答えを見る

$\hat{\imath}$ が $(2, 0)$ に移り、$\hat{\jmath}$ は $(0, 1)$ のまま。つまり横方向に2倍に引き伸ばす変換です。 上の図で赤い点を $(2, 0)$ に置いて確かめてみてください。

操作チャレンジ — 図で解く5問

読んで分かったら、次は手で証明しましょう。伸縮・回転・せん断・鏡映・退化、 この章の変換をぜんぶ自分の手で作ります。条件を満たした状態を少しキープすると正解です。

式で確かめる

動かして掴んだ感覚を、式と言葉で確かめます。間違えても、ヒントと解説で戻れます。

確認 1 / 3

$\hat{\imath}=(1,0)$ を $(0,1)$ へ、$\hat{\jmath}=(0,1)$ を $(-1,0)$ へ移す行列は、平面をどう動かしますか?

時計回りに90°回転せん断(斜めに流す)左右の鏡映反時計回りに90°回転

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確認 2 / 3

$\hat{\imath}$ を $(2,0)$ へ、$\hat{\jmath}$ を $(0,3)$ へ移す変換の行列式($\det$)はいくつ?(単位正方形の面積が何倍になるか)

答え

±√π

確認

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確認 3 / 3

$\det = 0$ の変換が平面にすることは?

回転させる1本の直線(または点)に潰す何も変えない面積を2倍にする

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