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行列 = 線形変換

「行列とは数を長方形に並べたもの」——教科書のこの定義で挫折した人のためのレッスンです。 行列の正体は空間を変形させる操作です。定義を暗記する前に、まず手で動かして見てみましょう。

触ってみる

下の図の 赤い点(基底ベクトル $\hat{\imath}$ の行き先)と 青い点($\hat{\jmath}$ の行き先)をドラッグしてください。 緑の格子(変換後の空間)と黄色い正方形(単位正方形の行き先)が連動して変形します。

いま何が起きていたのか

2×2 行列

$$A = \begin{pmatrix} a & c \\ b & d \end{pmatrix}$$

の1列目 $\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$ は「$\hat{\imath} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ がどこに移るか」、 2列目 $\begin{pmatrix} c \\ d \end{pmatrix}$ は「$\hat{\jmath} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ がどこに移るか」 を表しています。 あなたがドラッグしていたのは、まさにこの「列」そのものです。

基底の行き先さえ決まれば、他のすべてのベクトルの行き先も自動的に決まります。 これが線形性であり、行列とベクトルの積

$$A \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = x \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} + y \begin{pmatrix} c \\ d \end{pmatrix}$$

は「$x$ 個の新しい $\hat{\imath}$ と $y$ 個の新しい $\hat{\jmath}$ を足す」という意味だったのです。

試してみよう

図をもう一度操作して、次の変換を作ってみてください。

• 回転: 赤い点を $(0, 1)$、青い点を $(-1, 0)$ へ → 90°回転
• せん断: 赤い点は $(1, 0)$ のまま、青い点を $(1, 1)$ へ → 格子が斜めに傾く
• つぶす: 赤と青を同一直線上に置く → 平面全体が1本の直線に潰れる(det A = 0 になることを確認)

理解チェック

行列 $A = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ は空間をどう変形させるでしょうか?

答えを見る

$\hat{\imath}$ が $(2, 0)$ に移り、$\hat{\jmath}$ は $(0, 1)$ のまま。つまり横方向に2倍に引き伸ばす変換です。 上の図で赤い点を $(2, 0)$ に置いて確かめてみてください。

操作チャレンジ — 図で解く5問

読んで分かったら、次は手で証明しましょう。伸縮・回転・せん断・鏡映・退化—— この章の変換をぜんぶ自分の手で作ります。条件を満たした状態を少しキープすると正解です。