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基底を使う — 座標の読み替え

前回、基底は「空間を測るものさし」だと分かりました。今回はそのものさしで 実際に測る——つまり座標を読み書きする練習です。まずは振り返りから。

ウォームアップ — 第1章の振り返り

問1 / 1

青い矢印を動かして、横軸に落ちる影だけを「2目盛り」に合わせてください。先端は軸の上になくてもかまいません。

影 = (1.00, 0)

座標とは「レシピ」である

前回の「張る空間」の図をもう一度。スライダーの $(c_1, c_2)$ は、実は座標そのものです。

c₁ = 1.5

c₂ = 1.0

点 $\vec{p}$ が基底 $\{\vec{b}_1, \vec{b}_2\}$ で

$$\vec{p} = c_1 \vec{b}_1 + c_2 \vec{b}_2$$

と書けるとき、$(c_1, c_2)$ をこの基底での座標と呼びます。 座標とは「基底ベクトルを何杯ずつ混ぜるか」のレシピなのです。

座標を求める = 連立方程式

では逆に、点 $(3, 3)$ を基底 $\vec{b}_1 = (2,1)$、$\vec{b}_2 = (-1,1)$ で測ると? 成分ごとに書き下すと:

$$\begin{cases} 2c_1 - c_2 = 3 \\ c_1 + c_2 = 3 \end{cases}$$

足すと $3c_1 = 6$ で $c_1 = 2$、よって $c_2 = 1$。 つまり標準座標 $(3,3)$ の点は、この基底では座標 $(2, 1)$ に見えます。 同じ点・違う住所。そして座標の読み替えが連立方程式になる—— この事実は第4章「連立方程式」への入口でもあります。

標準基底は何が特別か

普段の座標 $(x, y)$ は、基底 $\hat{\imath} = (1,0)$、$\hat{\jmath} = (0,1)$ でのレシピです。 特別なのは「読みやすい」ことだけで、数学的にはただの基底のひとつ。 データ解析では、データに合わせてものさしを選び直すことがむしろ主役になります (第11章のPCAは「データが一番ばらつく方向」を新しい基底に選ぶ話です)。

理解チェック

基底 $\vec{b}_1 = (1, 0)$、$\vec{b}_2 = (1, 1)$ のとき、標準座標 $(3, 2)$ の点の基底座標は?

答えを見る

$c_1 (1,0) + c_2 (1,1) = (3,2)$ より $c_2 = 2$、$c_1 + c_2 = 3$ なので $c_1 = 1$。 基底座標は $(1, 2)$ です。y成分を $\vec{b}_2$ だけで賄い、残りの横幅を $\vec{b}_1$ で埋める—— レシピとして読むと自然に見えてきます。

操作チャレンジ — 図で解く3問

座標の読み・書き・そして「ものさしの設計」まで、手でやってみましょう。