基底を使う — 座標の読み替え

前回、基底は「空間を測るものさし」だと分かりました。今回はそのものさしで 実際に測る、つまり座標を読み書きする練習です。まずは振り返りから。

ウォームアップ — 第1章の振り返り

問1 / 1

問1・現在

リセット

青い矢印を動かして、横軸に落ちる影だけを「$2$目盛り」に合わせてください。先端は軸の上になくてもかまいません。

影 $= (1.00, 0)$

座標とは「レシピ」である

前回の「張る空間」の図をもう一度。スライダーの $(c_1, c_2)$ は、実は座標そのものです。

リセット

基底ベクトル a の成分

$a_x$$a_y$

基底ベクトル b の成分

$b_x$$b_y$

$c_1 = 1.5$

$c_2 = 1.0$

基底ベクトル a は (2.0, 1.0)、基底ベクトル b は (-1.0, 1.0)、係数 c1 は 1.5、c2 は 1.0、到達点 c1a+c2b は (2.0, 2.5) です。a と b は独立で、張る空間は平面全体です。

点 $\vec{p}$ が基底 $\{\vec{b}_1, \vec{b}_2\}$ で

$$\vec{p} = c_1 \vec{b}_1 + c_2 \vec{b}_2$$

と書けるとき、$(c_1, c_2)$ をこの基底での座標と呼びます。 座標とは「基底ベクトルを何杯ずつ混ぜるか」のレシピなのです。

座標を求める = 連立方程式

では逆に、点 $(3, 3)$ を基底 $\vec{b}_1 = (2,1)$、$\vec{b}_2 = (-1,1)$ で測ると? 成分ごとに書き下すと:

$$\begin{cases} 2c_1 - c_2 = 3 \\ c_1 + c_2 = 3 \end{cases}$$

足すと $3c_1 = 6$ で $c_1 = 2$、よって $c_2 = 1$。 つまり標準座標 $(3,3)$ の点は、この基底では座標 $(2, 1)$ に見えます。 同じ点・違う住所。座標の読み替えが連立方程式になる、 この事実は第4章「連立方程式」への入口でもあります。

標準基底は何が特別か

普段の座標 $(x, y)$ は、基底 $\hat{\imath} = (1,0)$、$\hat{\jmath} = (0,1)$ でのレシピです。 特別なのは「読みやすい」ことだけで、数学的にはただの基底のひとつ。 データ解析では、データに合わせてものさしを選び直すことがむしろ主役になります (第11章のPCAは「データが一番ばらつく方向」を新しい基底に選ぶ話です)。

理解チェック

基底 $\vec{b}_1 = (1, 0)$、$\vec{b}_2 = (1, 1)$ のとき、標準座標 $(3, 2)$ の点の基底座標は?

答えを見る

$c_1 (1,0) + c_2 (1,1) = (3,2)$ より $c_2 = 2$、$c_1 + c_2 = 3$ なので $c_1 = 1$。 基底座標は $(1, 2)$ です。y成分を $\vec{b}_2$ だけで賄い、残りの横幅を $\vec{b}_1$ で埋めます。 レシピとして読むと自然に見えてきます。

式で確かめる

動かして掴んだ感覚を、式と言葉で確かめます。間違えても、ヒントと解説で戻れます。

確認 1 / 3

点 $(3,3)$ を基底 $\vec{b}_1 = (2,1)$、$\vec{b}_2 = (-1,1)$ で測ります。$\vec{b}_1$ の係数 $c_1$ はいくつですか?

答え

±√π

確認

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確認 2 / 3

標準座標 $(3,2)$ の点を、基底 $\vec{b}_1 = (1,0)$、$\vec{b}_2 = (1,1)$ で測ったときの $c_1$ はいくつですか?

答え

±√π

確認

ヒントを見る

確認 3 / 3

ある点の「基底での座標を求める」ことは、計算としては何をすることですか?

行列式を求めること連立方程式を解くこと固有値を求めること内積を計算すること

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操作チャレンジ — 図で解く5問

座標の読み・書き・そして「ものさしの設計」まで、手でやってみましょう。