線形結合・張る空間・基底

前章の2つの演算(足し算とスカラー倍)を組み合わせると、 $c_1\vec{a} + c_2\vec{b}$ という式が作れます。これが線形結合です。 問題はこうです: 係数 $c_1, c_2$ を自由に選べるとき、どこまで届くのか?

触ってみる

スライダーで係数 $c_1$(赤)と $c_2$(青)を動かすと、黄色い点(到達点)が移動します。 届く点の集合(薄緑の領域)が、2本のベクトルの張る空間(スパン、span)です。

そして本題はここから。赤い点と青い点をドラッグして、2本のベクトルを平行にしてみてください。

リセット

基底ベクトル a の成分

$a_x$$a_y$

基底ベクトル b の成分

$b_x$$b_y$

$c_1 = 1.5$

$c_2 = 1.0$

基底ベクトル a は (2.0, 1.0)、基底ベクトル b は (-1.0, 1.0)、係数 c1 は 1.5、c2 は 1.0、到達点 c1a+c2b は (2.0, 2.5) です。a と b は独立で、張る空間は平面全体です。

いま何が起きていたのか

普段、2本のベクトルが張る空間は平面全体です。どんな点も $c_1\vec{a} + c_2\vec{b}$ の形で書けます。ところが2本が平行になった瞬間、 届く先は1本の直線に潰れます。$\vec{b}$ が $\vec{a}$ のスカラー倍でしかないため、 「新しい方向」を何も追加していないからです。

この違いに名前がついています:

• 2本が新しい方向を持つ → 1次独立(張る空間は平面)
• 片方がもう片方の倍数 → 1次従属(張る空間は直線に退化)

基底 — 空間の「ものさし」

1次独立な2本 $\{\vec{a}, \vec{b}\}$ は平面の基底になれます。 基底とは空間の全部の点に住所をつける「ものさし」です。 実際、上の図のキャプションを見てください。黄色い点の位置は

$$\vec{p} = c_1\vec{a} + c_2\vec{b}$$

なので、$(c_1, c_2)$ という数の組がそのまま基底 $\{\vec{a}, \vec{b}\}$ での座標です。 普段使っている $(x, y)$ 座標も、実は標準基底 $\hat{\imath} = (1,0), \hat{\jmath} = (0,1)$ を ものさしにした線形結合 $x\hat{\imath} + y\hat{\jmath}$ にすぎません。 同じ点でも、ものさしを替えれば座標は変わります。この視点は次章「行列 = 線形変換」につながります。

試してみよう

• $\vec{a}, \vec{b}$ を好きな形に置き、スライダーだけで点 $(2, 2)$ 付近に到達させてみよう(基底が変わると必要な係数も変わる)
• 係数を両方 0 にすると?(どんな基底でも原点。張る空間は必ず原点を通る)
• ほぼ平行だが完全には平行でない2本を作ると?(平面は張れるが、遠くへ行くのに巨大な係数が要る。数値計算で嫌われる「悪条件」の正体)

理解チェック

$\vec{a} = (1, 2)$ と $\vec{b} = (2, 4)$ が張る空間はどんな集合でしょうか?

答えを見る

$\vec{b} = 2\vec{a}$ なので1次従属。張る空間は平面ではなく、 原点と $(1, 2)$ を通る1本の直線です。図で $\vec{a}$ を $(1,2)$、$\vec{b}$ を $(2,4)$ 付近に 置くと「ほぼ平行」の警告が出ることを確かめてください。

式で確かめる

動かして掴んだ感覚を、式と言葉で確かめます。間違えても、ヒントと解説で戻れます。

確認 1 / 3

$\vec{a} = (1,2)$ と $\vec{b} = (2,4)$ が張る空間(スパン)はどんな集合ですか?

原点と $(1,2)$ を通る1本の直線平面全体2本の直線原点1点だけ

ヒントを見る

確認 2 / 3

2本のベクトルが「1次従属」であるとは、どういう状態ですか?

2本とも単位ベクトル片方がもう片方のスカラー倍(2本が平行)2本の長さが等しい2本が直交している

ヒントを見る

確認 3 / 3

平面(2次元)の基底になれる2本のベクトルの条件は?

片方が $(1,0)$ である必ず直交している両方とも長さ11次独立である(平行でない)

ヒントを見る

操作チャレンジ — 図で解く5問

読んで分かったら、次は手で証明しましょう。5問すべて、図の操作だけで解けます。 条件を満たした状態を少しキープすると正解になります。