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線形結合・張る空間・基底

前章の2つの演算——足し算とスカラー倍——を組み合わせると、 $c_1\vec{a} + c_2\vec{b}$ という式が作れます。これが線形結合です。 問題はこうです: 係数 $c_1, c_2$ を自由に選べるとき、どこまで届くのか?

触ってみる

スライダーで係数 $c_1$(赤)と $c_2$(青)を動かすと、黄色い点(到達点)が移動します。 届く点の集合——薄緑の領域——が、2本のベクトルの張る空間(スパン、span)です。

そして本題はここから。赤い点と青い点をドラッグして、2本のベクトルを平行にしてみてください。

c₁ = 1.5

c₂ = 1.0

いま何が起きていたのか

普段、2本のベクトルが張る空間は平面全体です。どんな点も $c_1\vec{a} + c_2\vec{b}$ の形で書けます。ところが2本が平行になった瞬間、 届く先は1本の直線に潰れます。$\vec{b}$ が $\vec{a}$ のスカラー倍でしかないため、 「新しい方向」を何も追加していないからです。

この違いに名前がついています:

• 2本が新しい方向を持つ → 1次独立(張る空間は平面)
• 片方がもう片方の倍数 → 1次従属(張る空間は直線に退化)

基底 — 空間の「ものさし」

1次独立な2本 $\{\vec{a}, \vec{b}\}$ は平面の基底になれます。 基底とは空間の全部の点に住所をつける「ものさし」です。 実際、上の図のキャプションを見てください。黄色い点の位置は

$$\vec{p} = c_1\vec{a} + c_2\vec{b}$$

なので、$(c_1, c_2)$ という数の組がそのまま基底 $\{\vec{a}, \vec{b}\}$ での座標です。 普段使っている $(x, y)$ 座標も、実は標準基底 $\hat{\imath} = (1,0), \hat{\jmath} = (0,1)$ を ものさしにした線形結合 $x\hat{\imath} + y\hat{\jmath}$ にすぎません。 同じ点でも、ものさしを替えれば座標は変わる——この視点が次章「行列 = 線形変換」の鍵になります。

試してみよう

• $\vec{a}, \vec{b}$ を好きな形に置き、スライダーだけで点 $(2, 2)$ 付近に到達させてみよう(基底が変わると必要な係数も変わる)
• 係数を両方 0 にすると?(どんな基底でも原点。張る空間は必ず原点を通る)
• ほぼ平行だが完全には平行でない2本を作ると?(平面は張れるが、遠くへ行くのに巨大な係数が要る——数値計算で嫌われる「悪条件」の正体)

理解チェック

$\vec{a} = (1, 2)$ と $\vec{b} = (2, 4)$ が張る空間はどんな集合でしょうか?

答えを見る

$\vec{b} = 2\vec{a}$ なので1次従属。張る空間は平面ではなく、 原点と $(1, 2)$ を通る1本の直線です。図で $\vec{a}$ を $(1,2)$、$\vec{b}$ を $(2,4)$ 付近に 置くと「潰れた!」の警告が出ることを確かめてください。

操作チャレンジ — 図で解く5問

読んで分かったら、次は手で証明しましょう。5問すべて、図の操作だけで解けます。 条件を満たした状態を少しキープすると正解になります。