ベクトルとは何か

ベクトルには2つの顔があります。物理学者にとっては空間に浮かぶ矢印、 プログラマーにとっては数の組 [2, 1]。線形代数の面白さは、この2つを 重ね合わせて見られるようになる瞬間から始まります。まず矢印を動かして、数がどう追いかけてくるか見てみましょう。

このコースでは当面、平面上の矢印と座標の組を同じものとして扱います。ただし後の「ベクトル空間」の章で見るように、座標 [2, 1] は基底を選んではじめて決まる表現で、矢印そのものとは区別されます。いまは「基底を固定したうえでの同一視」だと思っておいてください。

触ってみる — 足し算は「継ぎ足し」

赤い点と青い点をドラッグしてください。黄色いベクトルが2つの和 $\vec{a} + \vec{b}$ です。 点線に注目すると、和は「$\vec{a}$ の先に $\vec{b}$ を継ぎ足した到達点」、 つまり平行四辺形の対角線になっています。

ベクトル a の成分

$a_x$$a_y$

ベクトル b の成分

$b_x$$b_y$

ベクトル a は (2.0, 1.0)、ベクトル b は (-1.0, 2.0)、ベクトル a+b は (1.0, 3.0) です。

成分で見れば、和はただの座標ごとの足し算です:

$$\vec{a} + \vec{b} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_1 + b_1 \\ a_2 + b_2 \end{pmatrix}$$

矢印の「継ぎ足し」と数の「成分ごとの和」は常に一致します。これがベクトルの第一の約束です。

スカラー倍 — 伸ばす・縮める・裏返す

もう1つの基本演算はスカラー倍 $k\vec{a}$ です。スカラーとは、向きを持たないただの数(ここでは実数 $k$)のこと。スライダーで $k$ を動かしてみてください。 $k$ を負にした瞬間、矢印が反対向きに裏返るのがポイントです。

リセット

ベクトル a の成分

$a_x$$a_y$

$k = 1.5$

スカラー k は 1.5、ベクトル a は (2.0, 1.0)、スカラー倍 ka は (3.0, 1.5) です。

「足す」と「スカラー倍する」。実は線形代数のすべての操作は、この2つの組み合わせでできています。 次章で登場する線形結合はまさにその組み合わせです。

内積 — どれだけ同じ方向を向いているか

2つのベクトルの「相性」を測る道具が内積 $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$ です。 赤い点を青いベクトルの周りでぐるっと回してみてください。 黄色い「影」(正射影)が伸び縮みし、直角になった瞬間に内積が 0 になります。

ベクトル a の成分

$a_x$$a_y$

ベクトル b の成分

$b_x$$b_y$

ベクトル a は (1.5, 2.0)、ベクトル b は (3.0, 0.5)、内積は 5.50、なす角は 44 度です。a の b 方向への正射影は (1.78, 0.30)、影の長さは 1.81 です。

• 同じ向き → 内積は正(影が長い)
• 直交 → 内積はちょうど 0(影が消える)
• 逆向き → 内積は負(影が逆側に出る)

この「影の長さ」という見方は、第8章の射影・最小二乗法(機械学習の回帰の心臓部)でそのまま主役になります。

試してみよう

• 最初の図で $\vec{a}$ と $\vec{b}$ を同じ向きにすると、和はどうなる?(矢印が一直線に継ぎ足される)
• スカラー倍で $k = 0$ にすると?(どんなベクトルも原点=零ベクトルに)
• 内積の図で $\vec{a} \cdot \vec{b} < 0$ の領域はどこか、影の向きで確かめよう

理解チェック

$\vec{a} = (3, 4)$ の長さはいくつでしょうか?また $\vec{a}$ と直交するベクトルを1つ挙げてください。

答えを見る

長さは $|\vec{a}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$。直交するベクトルは内積が 0 になればよいので、 例えば $(-4, 3)$($3 \cdot (-4) + 4 \cdot 3 = 0$)。成分を入れ替えて片方の符号を反転すると、 平面ではこれが常に直交ベクトルを作る方法になります。内積の図で再現してみてください。

操作チャレンジ — 図で解く5問

読んで分かったら、次は手で証明しましょう。5問すべて、図の操作だけで解けます。 条件を満たした状態を少しキープすると正解になります。

式で確かめる

動かして掴んだ感覚を、式と言葉で確かめます。間違えても、ヒントと解説で戻れます。

確認 1 / 3

$\vec{a}=(2,1)$、$\vec{b}=(1,3)$ のとき、$\vec{a}+\vec{b}$ はどれですか?

$(1, -2)$$(2, 3)$$(3, 3)$$(3, 4)$

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確認 2 / 3

$\vec{a}=(3,4)$ の長さ(大きさ)$|\vec{a}|$ はいくつですか?

答え

±√π

確認

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確認 3 / 3

2つのベクトルの内積が 0 のとき、両者の関係は?

長さが等しい平行している同じ向きを向く垂直(直交)している

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