合同と証明 — ぴったり重なる三角形を見つける

$2$ つの図形が、形も大きさも同じで、動かせばぴったり重なるとき、その $2$ つの図形は合同です。「動かす」には、平行移動・回転・裏返し(対称移動)のすべてを含みます。向きが違っても、鏡に映したようでも、重なりさえすれば合同です。

三角形どうしが合同かどうかを調べるとき、辺の長さや角の大きさを $6$ つとも全部測る必要はありません。実は、ある決まった組み合わせの $3$ つの情報さえ分かれば、三角形の形はただ $1$ つに決まります。その組み合わせが、合同条件です。

合同を表すときは、対応する頂点の順で書きます。 $\triangle ABC \equiv \triangle DEF$ と書いたら、 $A$ と $D$ 、 $B$ と $E$ 、 $C$ と $F$ が対応しているという意味です。このとき $AB=DE$ 、 $\angle A=\angle D$ のように、対応する辺・角がそれぞれ等しくなります。

触ってみる — 何が分かれば三角形は1つに決まる?

青い $\triangle ABC$ が基準の三角形です。下のボタンで条件を選び、赤い点 $D,E$ はそのままに、点 $F$ をドラッグしてみましょう。選んだ条件に必要な数値がすべて一致すると、 $\triangle DEF$ が基準の三角形と合同になります。

△DEF ≡ △ABC ではありません

DE = AB

いま 6 / 目標 6

EF = BC

いま 3.35 / 目標 5.66

FD = CA

いま 3.35 / 目標 4.47

点

F

をドラッグして、選んだ条件の数値がすべて一致する位置を探します。青い

\triangle ABC

は固定した基準の三角形、

D,E

には最初から辺

DE=AB

を再現してあります。

$F$ を動かして条件を満たす位置を探すと、実はその位置が(裏返しを含めて)ほぼ $1$ か所しかないことに気づきます。これが「 $3$ つの情報だけで三角形の形が決まる」ということの意味です。

三角形の合同条件

三角形の合同条件は、次の $3$ つです。

3辺(SSS): $3$ 組の辺がそれぞれ等しい。
2辺とその間の角(SAS): $2$ 組の辺とその間の角がそれぞれ等しい。
1辺とその両端の角(ASA): $1$ 組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい。

どの条件も、「これだけ分かれば、あとの辺・角も自動的に決まってしまう」という最小限のセットです。 (発展として、直角三角形には「斜辺と他の $1$ 辺がそれぞれ等しい」という条件(RHS)もあります。)

誤りやすい点 — 2辺と1角では足りないことがある

「 $2$ 辺とその間にない角」が等しくても、合同とは限りません。角が2辺に挟まれていないと( $SAS$ の「間の角」ではないと)、同じ数値からでも違う形の三角形ができてしまうことがあります。

辺

DF=4

、辺

EF=3

、角

D=40^\circ

は同じでも、

DE

の長さが

4.61

と

1.52

の

2

通りの三角形ができます。角が

2

辺の間にないと、三角形は

1

つに決まりません。

同じ辺の長さ・同じ角度から出発しても、 $DE$ の長さが変われば別の三角形です。「2辺とその間の角」「1辺とその両端の角」のように、角の位置が辺との関係で決まっている条件だけが、三角形を1つに決めます。

理解チェック

式で確かめる

動かして掴んだ感覚を、式と言葉で確かめます。間違えても、ヒントと解説で戻れます。

確認 1 / 3

$\triangle ABC$ と $\triangle DEF$ で、 $AB=DE$ 、 $BC=EF$ 、 $CA=FD$ が成り立っています。 $\triangle ABC \equiv \triangle DEF$ と言えますか?

確認 2 / 3

$AB=DE$ 、 $BC=EF$ 、そして辺 $AB$ と辺 $BC$ に挟まれた $\angle B=\angle E$ が成り立つとき、 $\triangle ABC \equiv \triangle DEF$ と言えますか?

確認 3 / 3

$AB=DE$ 、 $BC=EF$ に加えて、辺 $AB$ と辺 $BC$ の間にない $\angle A=\angle D$ が成り立つとき、必ず $\triangle ABC \equiv \triangle DEF$ と言えますか?

📖

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執筆・監修: 中野竜之介（北海道大学大学院数学専攻博士課程・専門: 特殊関数論と代数幾何の交わり）

最終更新: 2026-07-05

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