合同を使って証明する — 仮定から結論へ

証明は、思いつきで書くものではありません。 「仮定(分かっていること)」から出発し、根拠を1つずつ積み重ねて「結論(示したいこと)」にたどり着く、という決まった形があります。

証明の型は次の通りです。

• 仮定: 問題文で最初から分かっている条件。
• 結論: 最終的に示したいこと。
• 根拠: 各ステップで「なぜそう言えるか」(合同条件・共通な辺や角・対頂角・平行線の同位角/錯角・二等辺三角形の性質 など)。

途中のどのステップにも根拠が必要です。 「なんとなく等しそう」は証明では通用しません。

例題 — 二等辺三角形の底角は等しい

$AB=AC$ の二等辺三角形 $ABC$ で、頂角 $\angle A$ の二等分線が辺 $BC$ と交わる点を $M$ とします。 このとき、底角 $\angle B=\angle C$ であることを証明します。

仮定: $AB=AC$、$AM$ は $\angle A$ の二等分線($\angle BAM=\angle CAM$)

結論: $\angle B=\angle C$

証明:

1. $\triangle ABM$ と $\triangle ACM$ において
2. $AB=AC$ …仮定
3. $\angle BAM=\angle CAM$ …仮定($AM$ が $\angle A$ の二等分線)
4. $AM=AM$ …共通な辺
5. $2$組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので、$\triangle ABM \equiv \triangle ACM$(SAS)
6. 合同な図形の対応する角は等しいので、$\angle B=\angle C$

$3$行目に注目します。 「二等分線だから角が等しい」だけでなく、それが合同条件のどの部分に使われるかまで書くと、証明として成立します。

もう1つの例 — 垂直二等分線上の点は両端から等距離

線分 $AB$ の垂直二等分線上に点 $P$ をとります。垂直二等分線と $AB$ の交点を $M$ とすると、$AM=BM$、$\angle PMA=\angle PMB=90^\circ$ です。 このとき $PA=PB$ であることを証明します。

1. $\triangle PMA$ と $\triangle PMB$ において
2. $AM=BM$ …仮定(垂直二等分線の定義)
3. $\angle PMA=\angle PMB=90^\circ$ …仮定(垂直二等分線の定義)
4. $PM=PM$ …共通な辺
5. $2$組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので、$\triangle PMA \equiv \triangle PMB$(SAS)
6. 合同な図形の対応する辺は等しいので、$PA=PB$

「垂直二等分線上の点は両端から等距離」という性質そのものが、SASによる合同から導かれています。

理解チェック

式で確かめる

動かして掴んだ感覚を、式と言葉で確かめます。間違えても、ヒントと解説で戻れます。

確認 1 / 3

二等辺三角形の底角が等しいことの証明で、$\triangle ABM \equiv \triangle ACM$ を示すのに使った合同条件はどれですか?

条件は使っていないSSS(3辺)ASA(1辺とその両端の角)SAS(2辺とその間の角)

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確認 2 / 3

証明のステップ「$AM=AM$」の根拠として正しいものはどれですか?

対頂角だから二等分線だから問題文の仮定だから共通な辺だから

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確認 3 / 3

垂直二等分線上の点 $P$ について $PA=PB$ を示す証明で、根拠として使われていないものはどれですか?

$\angle PMA=\angle PMB=90^\circ$(垂直二等分線の定義)$AM=BM$(垂直二等分線の定義)$\angle A=\angle B$(二等辺三角形の性質)$PM=PM$(共通な辺)

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