定義・定理・公式まとめ

$|a|=$ 原点から $a$ までの距離(符号を無視)

$-4$ も $4$ も原点から距離は同じ $4$。符号は向き、絶対値は距離

$a-b=a+(-b)$

「引く」は「負の数を加える」と同じ移動。$-2-5$ は $-2$ から左へ $5$ 進むこと

$(-1)^n$ は $n$ が偶数なら $+1$、奇数なら $-1$

負の数を $1$ 個掛けるたびに向きが $1$ 回反転する。反転を $2$ 回行えば元に戻る

$(-a)\times(-b)=ab,\quad (-a)\times b=-(ab)$

負の個数が偶数なら符号は正、奇数なら負。絶対値どうしの計算は符号と別に行う

$2x+3x=5x$

同じ種類のタイル(文字)だけを数え直す。ただの数の項とはまとめられない

$3x+2$ に $x=4$ を代入すると $3\times4+2=14$

文字はまだ決まっていない数。値を決めて初めて式全体が $1$ つの数になる

$2x+3=11 \Rightarrow 2x=8 \Rightarrow x=4$

天秤の両辺に同じ数を足し引きしても釣り合いは崩れない

$ax+b=c \Rightarrow x=\dfrac{c-b}{a}$

文字の項をまとめ、定数項を移項してから係数で割る

$a\neq0$ が必要($a=0$ だと文字が消えてしまう)

$y=ax$

$x$ を $2$ 倍すると $y$ も $2$ 倍。原点を通り、$a$ の符号で右上がり・右下がりが決まる

$y=\dfrac{a}{x}\ (x\neq0)$

$xy=a$ が一定に保たれる。グラフは直線ではなく双曲線になる

$x=0$ は定義域に含まれない

$y=ax+b$

$a$ は右へ $1$ 進んだときの変化量、$b$ は $x=0$ のときの $y$ の値

$a=\dfrac{y\text{の増加量}}{x\text{の増加量}}$

一次関数では、$2$ 点をどこで取っても同じ値になる

$x+y=5,\ x-y=1 \Rightarrow 2x=6$

係数をそろえて式を足し引きすると、片方の文字が消えて $1$ 本の式になる

$(x,y)=(4,3)$ を $2x+y=11$ と $x+y=7$ の両方に代入して確認

$1$ 本だけ合っていても解とは言えない。両方の式を満たして初めて確定する

$y=x+1,\ y=-x+5 \Rightarrow (2,3)$

$1$ 本の式は直線、$2$ 本の式を同時に満たす点はその交点

傾き同じ・切片違う → 解なし、傾き同じ・切片同じ → 無数、傾き違う → $1$ つ

計算する前に、平行か一致かをグラフの形で見通せる

平行線に $1$ 本の直線が交わるとき、同位角どうし・錯角どうしはそれぞれ等しい

横切る直線の傾きを変えても、対応する角はいつも同じ値になる

$n$ 角形の内角の和 $=(n-2)\times180°$

$1$ つの頂点から対角線を引くと $n-2$ 個の三角形に分かれる

角柱: $V=$底面積$\times$高さ、角錐: $V=\dfrac13\times$底面積$\times$高さ

錐は同じ底面・高さの柱の、ちょうど $\dfrac13$ の体積になる

$V=\dfrac43\pi r^3,\quad S=4\pi r^2$

半径だけで大きさが決まり、体積は $r^3$、表面積は $r^2$ で効いてくる

平均 $=\dfrac{\text{データの合計}}{\text{個数}}$

遠い値(外れ値)があると、そちらへ大きく引っぱられる

中央値 = 小さい順に並べた真ん中の値

端の値が変わっても、順番だけで決まるため大きくは動かない

最小値・$Q_1$・中央値・$Q_3$・最大値

$Q_1,Q_3$ はそれぞれ、中央値より小さい半分・大きい半分の中央値

四分位範囲 $=Q_3-Q_1$

中央の半分だけを見るので、両端の極端な値に影響されにくい

$\sqrt{A}$ = $2$乗すると $A$ になる $0$以上の数

面積 $A$ の正方形の一辺の長さとして読む

$4<7<9 \Rightarrow 2<\sqrt7<3$

根号の中の数を、両側の平方数ではさむとだいたいの位置が分かる

$\sqrt{ab^2}=b\sqrt{a}\ (b>0)$

$\sqrt{48}=\sqrt{16\times3}=4\sqrt3$ のように、平方数を見つけて外へ出す

$\dfrac{1}{\sqrt{a}}=\dfrac{\sqrt{a}}{a}\ (a>0)$

分母と分子に同じ数をかけているだけなので、値そのものは変わらない

$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$

一辺 $a+b$ の正方形を $4$ 枚の長方形に分けると $a^2,ab,ab,b^2$ になる

$2ab$ = 縦 $a$・横 $b$ の長方形 $2$ 枚の面積の和

式だけで覚えると $2ab$ の $2$ が抜けやすいが、図で見れば見落とさない

和が $b$、積が $c$ になる $2$数 $p,q$ を探すと $x^2+bx+c=(x+p)(x+q)$

面積をすき間なく長方形に組み直すと、たてと横の長さが読める

$x^2+2ax+a^2=(x+a)^2$

定数項が平方数で、真ん中の項がその一辺の $2$倍になっている特別な形

$x^2+bx+c=\left(x+\dfrac{b}{2}\right)^2+\left(c-\dfrac{b^2}{4}\right)$

頂点の高さが $0$ より下なら、放物線は $x$軸と $2$点で交わる

$D=b^2-4ac$

$D>0$ で解 $2$個、$D=0$ で解 $1$個(重解)、$D<0$ で実数解なし

$a\neq0$ の二次方程式 $ax^2+bx+c=0$ に対して

$x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

平方完成を、一般の $a,b,c$ で先にやっておいた道具

$a\neq0$

$y=ax^2$

$a>0$ で上に開き、$a<0$ で下に開く。$|a|$ が大きいほど幅はせまい

$D=-4ac$

$a,c$ が同符号なら実数解なし、異符号なら $2$つの実数解を持つ

SSS(3辺)・SAS(2辺と間の角)・ASA(1辺と両端の角)

この3つのどれか1つがそろえば三角形はただ1つに決まる(裏返しを除く)。2辺と「間にない」角(SSA)では決まらない

発展: 直角三角形には「斜辺と他の1辺」(RHS)もある

$\triangle ABC \equiv \triangle DEF$ なら $A\leftrightarrow D,\ B\leftrightarrow E,\ C\leftrightarrow F$

頂点を書く順序が対応そのもの。順序を変えると対応する辺・角が変わってしまう

仮定 → 各ステップに根拠 → 結論

各ステップに合同条件・共通の辺角・対頂角・平行線の同位角/錯角などの根拠を必ず書く

$AB=AC \Rightarrow \angle B=\angle C$

頂角の二等分線で2つの合同な三角形に分け、対応する角として底角の一致を導く(SAS)

$A,B$ を中心に等半径 $r\ (r>\tfrac12 AB)$ の弧を描き、交点 $P,Q$ を結ぶ

$AP=BP=AQ=BQ=r$ から SSS 合同が2組でき、$PQ$ が $AB$ を垂直に二等分する

$O$ 中心の弧で $X,Y$ を取り、$X,Y$ 中心の等半径の弧の交点 $Z$ を結ぶ

$\triangle OXZ\equiv\triangle OYZ$(SSS)より $\angle XOZ=\angle YOZ$。半径の大きさによらない

3辺の垂直二等分線は1点で交わり、その点から3頂点は等距離

2本の垂直二等分線の交点は3頂点から等距離なので、残り1本にも自動的に乗る(外接円の中心)

鈍角三角形では外心が三角形の外側にくる

2組の対辺が等しい・2組の対角が等しい・対角線がそれぞれの中点で交わる

対角線で2つの三角形に分け、錯角と共通の辺による合同(ASA)から導ける

対辺2組が等しい / 対角2組が等しい / 対角線が互いを二等分 / 1組の対辺が平行かつ等しい

どれか1つが言えれば平行四辺形。合同を経て2組の対辺の平行を示す

「1組の対辺が等しい」だけでは不十分(等脚台形が反例)

長方形: 対角線が等しい / ひし形: 対角線が直交 / 正方形: 両方

いずれも平行四辺形の特別な場合。正方形は長方形かつひし形

$OP'=k\times OP$

中心 $O$ から伸びる直線上で、すべての点を同じ倍率 $k$ で動かす

$A'B':AB=$ 相似比、$\angle A'=\angle A$

長さには倍率がかかるが、角の大きさは拡大・縮小で変わらない

面積比 $=k^2$

面積は縦と横の $2$方向で決まるので、倍率が $2$回かけ合わさる

体積比 $=k^3$

体積は縦・横・高さの $3$方向で決まるので、倍率が $3$回かけ合わさる

相似比 $k$ の相似な図形どうしで成り立つ

円周角 $=\dfrac12\times$中心角

同じ弧を見ている限り、円周上のどこから見ても角度は変わらない

接線 $\perp$ 半径 $OT$(接点 $T$)

円の問題で直角が欲しいときは、接線を探すと見つかる

$a^2+b^2=c^2$

直角をはさむ $2$辺に立てた正方形の面積の和が、斜辺に立てた正方形の面積と一致する

直角三角形の斜辺を $c$ とする場合に成り立つ

$PQ=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$

横の差・縦の差を直角をはさむ $2$辺にした直角三角形の斜辺として距離を出す

確率 $=\dfrac{\text{注目する場合の数}}{\text{すべての場合の数}}$

どの結果も同様に確からしいときだけ使える、数え上げの結果

硬貨 $2$通り $\times$ カード $3$通り $=6$通り

途中の枝ではなく、最後まで伸ばした葉の数が全事象になる

試行回数を増やすと、相対度数は理論上の確率に近づきやすくなる

少ない回数ではばらつくが、回数を増やすほど理論値の近くに集まりやすい

相対度数 $=\dfrac{\text{出た回数}}{\text{試行回数}}$

実際に試した結果の割合。理論上の確率とは別の量として区別する