作図 — 定規とコンパスだけで正確に引く

作図とは、目盛りのない定規(直線を引くだけの道具)とコンパス(等しい長さを写し取る道具)だけを使って、正確な図形を組み立てることです。 測るのではなく、等しい長さ・等しい半径の弧を使って「そこにしかない点」を見つけていきます。

触ってみる — 等しい半径の弧で垂直二等分線を引く

線分 $AB$ の垂直二等分線($AB$ の中点を通り、$AB$ に垂直な直線)を作図してみましょう。 $A,B$ をそれぞれ中心にして、同じ半径 $r$ の弧を $2$つ描きます。半径 $r$ さえ $\frac{AB}{2}$ より大きければ、$2$つの弧は必ず $2$点で交わります。 その $2$つの交点を結んだ直線が、$AB$ の垂直二等分線です。

コンパスの半径 r4

$PA=3.35$, $PB=3.35$

点 P の座標

$P_y$

点Pは(0, 1.5)。半径rは4。PAは3.35、PBは3.35で、等しくなっています。

半径 $r$ を変えても、緑の交点はいつも同じ直線上に並びます。 さらに、その直線上のどこに点 $P$ を取っても $PA=PB$ になっています。 「垂直二等分線上の点は両端から等距離」という性質が、作図の中にすでに現れているのです(なぜそう言えるかは次のレッスンで合同を使って確かめます)。

触ってみる — 等しい半径の弧で角を二等分する

角 $\angle XOY$ を $2$等分する半直線も、同じ考え方で引けます。

1. 頂点 $O$ を中心に適当な半径 $r_1$ の弧を描き、角の両辺との交点を $X,Y$ とする。
2. $X,Y$ をそれぞれ中心に、同じ半径 $r_2$ の弧を描き、その交点を $Z$ とする。
3. 半直線 $OZ$ が角 $\angle XOY$ の二等分線。

角の大きさ70°2つ目の弧の半径3.2

$\angle XOZ=35^\circ$, $\angle YOZ=35^\circ$

角の大きさは70度、2つ目の弧の半径は3.2です。角XOZは35度、角YOZは35度で、角が2等分されています。

角の大きさや $2$つ目の半径 $r_2$ を変えても、$\angle XOZ$ と $\angle YOZ$ はつねに等しくなります。 ここでも「同じ半径の弧を使う」ことが、二等分を保証しています。

他の基本の作図

上の $2$つと同じ道具立てで、次の作図もできます。

• 垂線(直線外の点から): 直線外の点 $P$ を中心に、直線と $2$点で交わる弧を描く。その $2$つの交点を中心に同じ半径の弧を描いて交点 $Q$ を作ると、直線 $PQ$ がもとの直線に垂直になります。考え方は垂直二等分線の作図とまったく同じです(直線上の $2$点を「$A,B$」と見なせば、$PQ$ はその垂直二等分線になっています)。
• 垂線(直線上の点から): 直線上の点 $P$ を中心に、左右に等しい半径で $2$点 $A,B$ を取り、その $A,B$ の垂直二等分線を作図すれば、それが $P$ を通る垂線です。
• 角の移動: すでにある角と同じ大きさの角を、別の場所に作る作図です。角の頂点を中心に弧を描いて両辺との交点を取り、その $2$点間の距離(弦の長さ)をコンパスで写し取れば、移した先でも同じ弦の長さ・同じ半径の関係が再現され、同じ大きさの角になります。

どの作図も、「等しい半径」や「等しい弦の長さ」を再現することで、測らずに同じ長さ・同じ角度を作り出しています。

理解チェック

式で確かめる

動かして掴んだ感覚を、式と言葉で確かめます。間違えても、ヒントと解説で戻れます。

確認 1 / 3

線分 $AB$ の垂直二等分線を作図するとき、$A,B$ を中心にする $2$つの弧の半径について正しいものはどれですか?

同じ半径で、$\frac{AB}{2}$ より大きければよい$A$側と$B$側で異なる半径にする必要がある同じ半径で、$AB$ よりちょうど等しくなければならない半径は関係なく、弧が交わりさえすればよい

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確認 2 / 3

角の二等分線の作図で、$2$つ目の弧(点$X,Y$を中心にする弧)の半径 $r_2$ を大きくすると、二等分線の向きはどうなりますか?

半径を大きくすると二等分線は$X$側に傾く半径によらず、二等分線の向きは変わらない半径を大きくすると角がずれて二等分できなくなる半径を大きくすると二等分線は$Y$側に傾く

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確認 3 / 3

直線外の点 $P$ から、その直線に垂線を引く作図の考え方として正しいものはどれですか?

直線と$2$点で交わる弧を$P$中心に描き、その$2$点の垂直二等分線を作図すれば、それが$P$を通る垂線になる$P$から直線までの長さを定規で測って直角を判定するコンパスは使わず、定規だけで垂線が引ける直線上の適当な$1$点と$P$を結ぶだけでよい

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